《高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算学案新人教b版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算学案新人教b版选修2-1（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.1.43.1.4 空间向量的直角坐标运算空间向量的直角坐标运算1了解空间向量坐标的定义2掌握空间向量运算的坐标表示(重点)3能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角(难点、重点)基础初探教材整理 1 空间向量的直角坐标运算阅读教材 P89P90“空间向量平行和垂直的条件”以上部分内容，完成下列问题1单位正交基底与坐标向量建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i i，j j，k k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i i，j j，k k，这个基底叫做单位正交基底单位向量i i，j j，k k都叫做坐标向量2空间向量的直角坐标运算(1)设a a(a
2、1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)向量坐标运算法则a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)，a ab b(a1b1，a2b2，a3b3)，a a(a a1，a a2，a a3)，a ab ba1b1a2b2a3b3.(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)ABOBOA也就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标1已知向量a a(4，2，4)，b b(6，3,2)，则下列结论正确的是( )Aa ab b(10，5，6) Ba ab b(2，1，6)2Ca ab b10 D2a a(8，4
3、，8)【解析】 易验证 A，B，C 均不正确，D 正确【答案】 D2在空间直角坐标系中，若A(1,3,2)，B(0,2,4)，则向量的坐标为_AB【答案】 (1，1,2)教材整理 2 空间向量平行和垂直的条件阅读教材 P90“空间向量平行和垂直的条件”以下部分内容，完成下列问题a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)平行(abab)abab(b b0)a ab bError!(R R)垂直(abab)abababab0a1b1a2b2a3b30(a a，b b均为非零向量)已知向量a a(1,1,0)，b b(1,0,2)，且ka ab b与 2a ab b互相垂直，则k( )A
4、1 B1 5C. D3 57 5【解析】 ka ab b(k1，k,2)，2a ab b(3,2，2)，且(ka ab b)(2a ab b)3(k1)2k40，解得k .7 5【答案】 D教材整理 3 两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式阅读教材 P91第 10 行以下部分内容，完成下列问题若a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)，则(1)a ab b_；(2)|a a|_；a aa a(3)a a0，b b0，cosa a，b b_；a ab b | |a a| | |b b| |(4)a0a0，b0b0，abababab0 0_.【答案】 (1)a1b1a2b2a3b3(
5、2)a2 1a2 2a2 3(3)a1b1a2b2a3b3a2 1a2 2a2 3b2 1b2 2b2 3(4)a1b1a2b2a3b303ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(1,0，)，则角A2(32，12， 2)2的大小为_【解析】 ，(1,0,0)，AB(32，12，0)AC则 cos A，故角A的大小为 30.ABAC|AB|AC|32 1 132【答案】 30教材整理 4 空间中两点间的距离公式阅读教材 P91“例 3”以上部分内容，完成下列问题在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(1)_；AB(2)dAB|_.AB【答案】 (1)(
6、x2x1，y2y1，z2z1)(2)x2x12y2y12z2z12在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为( )A. B1052 57C. D15151015【解析】 建系如图，则C1(0,1,2)，D(1,0,1)，A1(0,0,2)，C(0,1,0)(1，1，1)，C1D(0,1，2)A1Ccos，C1DA1CC1DA1C|C1D|A1C|4.123 51515故选 C.【答案】 C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑
7、：_5小组合作型空间向量的坐标运算已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(1,2,1)，(1,3,4)，(0，1,4)，(2，1，2)若p p，q q，求下列各式的值：ABCD(1)p p2q q；(2)3p pq q；(3)(p pq q)(p pq q)；(4)cosp p，q q 【精彩点拨】 (1)已知两点的坐标，怎样表示由这两点构成的向量的坐标？(2)向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则是怎样的？【自主解答】 由于A(1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，1,4)，D(2，1，2)，所以p p(2,1,3)，q q(2,0，6)ABCD(1)p p2q q(2,1,3)2(2
8、,0，6)(2,1,3)(4,0，12)(6,1，9)(2)3p pq q3(2,1,3)(2,0，6)(6,3,9)(2,0，6)(4,3,15)(3)(p pq q)(p pq q)p p2q q2|p p|2|q q|2(221232)2202(6)226.(4)cosp p，q qp pq q |p p|q q|2，1，32，0，6221232 220262.1414 2 1035101一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标2在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a ab b)
9、2a a22a ab bb b2；(2)(a ab b)(a ab b)a a2b b2.再练一题1已知a a(2，1，2)，b b(0，1,4)求：6(1)a ab b；(2)a ab b；(3)a ab b；(4)2a a(b b)；(5)(a ab b)(a ab b)【解】 (1)a ab b(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)(2)a ab b(2，1，2)(0，1,4)(20，1(1)，24)(2,0，6)(3)a ab b(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47.(4)2a a(4，2，4)，(2a a)(b b)(4，2，4)(0,1，4
10、)40(2)1(4)(4)14.(5)(a ab b)(a ab b)a a2b b2414(0116)8.利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题已知a a(1,5，1)，b b(2,3,5)(1)若(ka ab b)(a a3b3b)，求k的值；(2)若(ka ab b)(a a3b3b)，求k的值【精彩点拨】 (1)向量共线的条件是什么？(2)向量垂直的条件是什么？【自主解答】 ka ab b(k2,5k3，k5)，a a3b3b(132,533，135)(7，4，16)(1)法一 因为(ka ab b)(a a3b3b)，所以，解得k .k2 75k3 4k5 161 3法二 因为a a(
11、1,5，1)，b b(2,3,5)，所以a a0，b b0.又因为(ka ab b)(a a3b3b)，所以 ，解得k .k 11 31 3法三 因为(ka ab b)(a a3b3b)，所以ka ab b(a a3b3b)(R R)，即(k2,5k3，k5)(7，4，16)从而有Error!解得k ，所以k .1 31 3(2)法一 因为(ka ab b)(a a3b3b)，7所以(k2)7(5k3)(4)(k5)(16)0，解得k.106 3法二 因为a a(1,5，1)，b b(2,3,5)，所以a a227，b b238，abab8.因为(ka ab b)(a a3b3b)，所以(ka
12、 ab b)(a a3b3b)ka a23b b2(13k)abab27k1148(13k)3k1060.所以k.106 3向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意：(1)适当引入参数(比如向量a a，b b平行，可设a ab b)，建立关于参数的方程；(2)最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的再练一题2已知a a(1,1,2)，b b(6,2m1,2)(1)若a ab b，分别求与m的值；(2)若|a a|，且与c c(2，2，)垂直，求a a. 5【导学号：15460068】【解】 (1)由a ab
13、b，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，Error!解得Error!实数 ，m3.1 5(2)|a a|，且a ac c，5Error!化简得Error!解得1.因此，a a(0,1，2)探究共研型8利用向量的坐标运算求夹角与距离探究 1 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤？【提示】 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；(2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标；(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；(4)转化：转化为几何结论探究 2 已知A(2,1，3)，B(1，2,4)，求与向量共线的单位向量AB【提示】 (1，3,7)，|，ABAB12327259与共线的单位向量为AB(5959，3 5959，7 5959
