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1、第三章第三章椭圆型问题的差分法椭圆型问题的差分法31 流体力学中的椭圆型问题流体力学中的椭圆型问题无旋流场中 速度势 （Laplace Eq.）02二维不可压定常流动，利用涡流函数表示：方程PoissonVt 22v不可压分离流问题中，扰动压力场：02 p定常的 NS 方程求解问题 在网格自动生成中，求解椭圆型方程的网格生成方法 由于椭圆型方程的数学性质：求解域内部任何一点的解函数依赖于所有边界上的边界 条件，因此从数值计算方法来看，就不能从一部分边界起步进行推进计算到另外的边界， 这与发展方程的求解方法有很大的差别，椭圆型方程的数值求解方法，只能是在整个流场整个流场 中中进行迭代计算来求解。
2、332 2 椭圆型问题的迭代法求解椭圆型问题的迭代法求解（一）迭代法的基本概念例：方程 （ Poisson 方程） 2二维 2222yx差分离散 .(*)jijijijijijiji yx,21, 1,1, 2, 1, 1 )(2)(2写成矩阵形式代数方程组为： . (1)BA其中 OOOOOOOOOOOOOOOOOA JIji,2 , 11 , 1 MM一般地，对于线性方程组有，欲求未知函数的解矢量BA 若为非奇异矩阵，即：，则A1ABA1 由于是个阶数甚大的矩阵（非三对角） ，直接求解，或利用 Gauss 消去法求逆矩A 阵，计算量及所需计算机的内存都将十分巨大，所以在实际计算中不希望采用
3、直接法求解。迭代法的基本思想是迭代法的基本思想是：定义一个序列，当时，从而得)(kkBAk1)(到方程(1)的解。迭代法设法给出的迭代关系。 （通常为计算方)()2()1()(,rkkk kkBAFL便，迭代法采取，使之简单）1r )1()(,k kkBAF若（即迭代关系式）与迭代步 k 无关，则称为平稳迭代；kF若是的线性函数关系，则称为线性迭代。kF)1( k例如最简单的线性迭代关系可设为： (2)()1()()(kkkkVH若迭代是有效的，则)()(kkVH即 (3)(1)(1kkVBAHBABMBAHIVkMkkk)(1)()()()( 44 344 21即 BMHkkk)()()(且
4、 1)()(AHIMk或 IMAH研究迭代的收敛性：引入误差：BAEkk1)()(而由(2)-(3)得：)(1)1()(1)(BAHBAkkk即 )1()()(kkkEHE或有递推关系式：)0()2()1()()(EHHHHEHEHEkkkkk434 21LL个由于是初始解与精确解的误差，应是一个有界的任意函数，故迭代矩阵 H 应具有：)0(E当时，Z 为任意的有界向量函数。k0lim ZHHHkk434 21L可以证明：（参阅 “偏微分方程的有限差分方法”P239）对于任意的向量 Z，的充分必要条件是 H 的所有的特征值0)1()1()(ZHHHkkL的绝对值（即谱半径）都小于小于 1。i推
5、论 当 k 很大时， )()()1(HEEkk iiHmax)(所以若，则迭代法的收敛速率很慢。1二、几种迭代法介绍二、几种迭代法介绍 1 Jacobi 迭代 (简单点迭代) 由方程 BA 将矩阵分解为：A=L+D+UL：主对角线以下的元素 （ij 时等于 A，其余为零）ijaD： 主对角线元素U： 主对角线以上的元素 （ij）只要遵循已有新值时，用新值，没有新值时LQ用旧值，即为 G-S。 *往返扫描的 Gauss-Seidel 迭代，即step1: BUDLkkk )1()()(step2: BUDLkkk)1()1()(3、SOR（逐点松弛迭代）（逐点松弛迭代） step1. 用 GS
6、迭代法求中间值，即(a)BUDLkkk )1()()(step2. . .(b)1(*)()1 (kk消去中间结果 即 (*)1(*)()1 ()(kkDDDDb将(a)代入 )1()1()()()1 (kkkkDULBDBUDDUBLDkkkk)1()1()1()()1()1 ()(BLDUDLDkk1)1(1)()()1()(其中为松弛因此， 为亚松弛，10 时为超松弛。214、线迭代和线松弛迭代、线迭代和线松弛迭代将 A 分解为ULDA但 保留主对角元素在 D 中，L，U 则仍为余下元素的上三角与 OOOOOOOD下三角矩阵则导出线迭代BUDLkkk)1()()1(而导出线 DS 迭代B
7、UDLkkk )1()()(*往返扫描的 GS 线迭代（线松弛迭代）而导出松弛迭代 )1(*)()1(*)()1 (kkkkDDBUDL三、迭代法的收敛性及松弛因子的选择三、迭代法的收敛性及松弛因子的选择 1 迭代法收敛的几个充分条件 对于方程 BA 若矩阵 A 满足强对角优势条件，则 Jacobi 迭代和 GS 迭代均收敛 若矩阵 A 满足对角占优条件，且矩阵 A 为不可约矩阵，则 Jacobi 迭代和 GS 迭代均收敛 若矩阵 A 是对称正定矩阵，则 GS 迭代收敛。 若且有), 2 , 1(0NiaiiL则 Jacobi，G S 迭代收敛12)(12 iiNijjijaa 若对于 Jac
8、obi 迭代收敛的，则的松弛迭代也总是收BA21 敛的。 只证明（余略）A 为强对角占优，及11 Nijjijiiaa将 A 的每一行元素均用该行的主对角线元素去除，可得到主对角元素为 1，且不改变将对角占优的性质，然后将 分解为 ，BAAUDLA且有：1ijijUL对于 Jacobi 迭代，BULBDULDkkk)1(1)1(1)()()(即)(ULG利用矩阵的特征值分布定理(Gerschgorin 圆盘定理)，可知的所有特征值均在单位圆A内，证毕！2、对于 Poisson 方程 Jacobi 迭代矩阵的特征分析 结论：1、Jacobi 迭代矩阵的特征值为：（参考苏煜诚，吴启光，偏微分方程数
9、值解）1, 2 , 11, 2 , 1cos21cos21 ,lrmslr ms rsLLx 方向总网格数为 s+1(0,1,2,s)，0,s 为边界 y 方向总网格数为 l+1(0,1,2,l)，0,l 为边界 2、逐点松弛迭代法中迭代矩阵的特征值（GS 或 SOR）由)1()()(1UDLDG设的特征值为)(G则结论为： (1)0) 1(,srsrsr3、SOR 方法中松弛因子的最优化迭代4 84 7644 344 21)(,)(maxMin)(srsroptsrMax谱半径由，使的充要条件是：0) 1(1（） 11 20)1(1 结论： （2）2 *2 *2 * 112)11 (2 op
10、tJacobi 迭代矩阵的谱半径rsrs,*max并有2 *2 * 11111)( optopt但是由于实际过程中，未知，所以不能预先知晓。)(*JGopt4、优选松弛因子的两个近似方法 方法 1：利用的关系仍为上面之（1） （2）两式步骤 取用 SOR 迭代计算若干步，然后用下面的计算近200似的)(0 ijk jik jiijk jik jiuuuu)1( ,)( ,)( ,)1( ,0)(以，代入（1）式求0)(02 02 02)0()1(B根据（2） 即为的第一次近似值2)1( 112Bopt )1 ( opt可以类似求出，直至，之差小于为止。)1()2()(k)1( k方法 2、令
11、)1()(,)(maxk ijk ijjikuu由开始，近似认为1)2()1()1()(kkkk 直至akkkk )2()1()1()( 取2112aopt 5、几种主要的迭代算法的收敛速度比较、几种主要的迭代算法的收敛速度比较设而为问题求解域为 内点共有个 yx 00nh2) 1( na.Jacobi 迭代：)cos()(cos(21shrhrs2 1 , 1,211coshmaxhsrsrJ所以收敛速度 2 121lnhRJb.GS 迭代由 0) 1(当时，即为 GS，12所以 22maxmaxJrsSG 2ln2lnhRJSGSGcSORhGopt21sinh1sinh11111)(2
12、*2 * hR2ln33 定常问题的迭代法求解与（伪不定常）时间推进法定常问题的迭代法求解与（伪不定常）时间推进法计算的一致性讨论计算的一致性讨论一、一、概述概述例 1，定常方程 (*)xu xua22 采用 Jacobi 迭代，差分格式用中心差分2)( 1)1()( 1)( 1)( 122xuuuxuuak jk jk jk jk j )(21)(4)( 1)( 1)( 1)( 1)1(k jk jk jk jk juuuuxau)2(21)(4)( 1)()( 1)( 1)( 1)()1(k jk jk jk jk jk jk juuuuuxauu2)(22)( 1)( 12)()1(22)(4xux xuuxauuk jxk jk jk jk j 其中可以视为虚拟的时间步长)(2)(2)(2 222 22)( xOxuxxOxuxaOukj222222xux xuxau 即从方程 出发的 FTCS 格式，与从方程（*）出发2222 xu xuau x 的 Jacobia 迭代得
