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1、湖 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 I 摘 要 自 1961 年 Hu 首次提出不变矩的概念以来，矩和矩函数已经被广泛应用于图像处理和模式识别的各种领域。Zernike 矩具有正交性和良好的旋转不变性，因而得到了广泛的研究和发展。然而 Zernike 矩基函数为连续函数，在计算过程中会产生很大离散误差，于是近年来相继提出了几种离散正交矩，如 Tchebichef矩， Hahn矩和 Krawtchouk 矩等。 其中 Krawtchouk 矩可以提取图像不同位置的局部特征，因而优于其它两种离散矩，但其高阶矩的数值发散使得 Krawtchouk 无法精确重建大图像。 本文简要介绍和评价
2、了各种形式的矩并给出了一系列的算法精度评价体系，提出了 Krawtchouk 矩的误差传递模型，分析了其误差传递的机理，提出一种基于GMP 大数库的分段迭代算法来精确计算 Krawtchouk 多项式，且此方法对参数 p取任意值均有效，实验证明该方法确实能有效抑制且在一定程度上控制高阶Krawtchouk 矩的累积误差，消除重构图像的劣化。 同时，由于 Krawtchouk 矩并不具备天然的几何不变性（旋转、缩放和平移） ，这也从一定程度上限制了 Krawtchouk 矩的应用。本文先对大小为 NN 的图像做方圆变换，然后在单位圆平面上作离散向量基，径向以 N/2 点的离散径向Krawtcho
3、uk 多项式为正交基，周向以 4+8i 点的离散 Fourier 为正交基，这样构成一类新的离散径向 Krawtchouk 矩。实验结果表明该矩具有不变性。 关键词： Krawtchouk 矩， 高精度算法， 迭代法， 方圆变换法， 不变性 湖 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 II Abstract Since Hu first introduced the moment invariant in 1961 , moments and moment functions have been widely used in the fields of image analysis and
4、 pattern recognition.Zernike moments have the orthogonality property and good rotation invariance, which has been extensive researched and developmented. However, Zernike moment basis function as a continuous function, large errors will be generated in the calculation process, so discrete orthogonal
5、 moments have been proposed in recent years, such as the Tchebichef moments, Hahn moments and Krawtchouk moments and so on. Krawtchouk moments can be extracted local features of the image at different locations, which is superior to other two kinds of discrete moments, but the numerical divergence o
6、f its high- order moments makes it impossible to accurately rebuild large image. In this paper, we briefly introduce and evaluate various forms of moments and introduced a series of algorithm accuracy evaluation system , A error propagation model of Krawtchouk moments is proposed and the mechanism o
7、f the error propagation has been analyzed. In order to accurately compute Krawtchouk polynomials, a piecewise recursive algorithm based GMP bignum library, which is useful for the arbitrary parameter p, has been present. The experiment prove that the propose method can effectively restrain and contr
8、ol the accumulation error of the high- order Krawtchouk moments to a certain extent, and finally eliminate the degradation of reconstruction images. Meanwhile,Krawtchouk moments do not have a natural geometric invariance (rotation, scaling and translation), which limit the application of Krawtchouk
9、moments to some extent. A rectangle- to- circle image transformation is introduced to the image and make discrete vetor base which discrete radial Krawtchouk polynomial orthgonal to discrete Fourier in circumferential direction constructing a kind of new discrete radial Krawtchouk moments. The exper
10、imental results show that the proposed Krawtchouk moments are invariant Keywords: Krawtchouk moments， High- precision algorithm， Iteration method， Rectangle- to- Circle method， Invariance 学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文
11、的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖北工业大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日湖 北 工 业 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 第 1 章 绪论 1 . 1 课题来源及背景 本
12、课题来源于国家自然科学基金项目 Zernike1- 6矩的高精度算法与辐射状模糊仿射不变性研究，本文研究内容主要侧重于解决 Krawtchouk 矩的高精度算法与不变性问题。 1 . 2 课题研究现状 20 世纪 80 年代以来， 以 Zernike 矩为代表的正交矩逐步成为图像处理与模式识别领域特征表达的重要技术手段。正交矩一般可以被分为两类：第一 ，以Legendre7矩、Zernike 矩和正交 Foulier- Mellin 矩为代表的连续正交矩；第二，以Tchebichef8矩、Krawtchouk9- 11 矩和 Hahn12 矩为代表的离散正交矩 研究正交矩性能的有效评价准则，寻
13、找有助于提高正交矩特征表达能力的理论依据，探索图像理解与分析的新理论、新方法成为近 30 年图象矩理论研究的主线与热点。Teh 和 Chin 通过引入信噪比、信息冗余和重构误差等评价指标，首次系统地建立了矩特征的评价体系。随后盛云龙13 、平子良、阿木古愣14 、S.X. Liao15 、R. Mukundan16,17、舒华忠18- 21 等研究了正交矩的多畸不变性、误差抑制、抽样性能以及算法效率等不同侧面对其特征表达能力的影响。综合这些学者的研究成果，可以归结为 7 个指标。同时根据因果关系构成 3 个紧密联系、相互影响的指标概念群，构成正交矩性能评价体系的示意图（如图 1.1） 图 1.
14、1 显示，主导指标在正交矩的特性分析中起“因”的作用，性能评价指标则是该作用下的“果”。纵观图像矩理论的发展历程，国内外学者始终紧紧围绕如何提高“果”的四个标准，从主导指标入手探索图像矩的新理论、新方法。主导指标按作用范围分为个性主导指标与共性主导指标，个性主导指标只包含 1 个抽样性能指标，是主导正交矩性能的“内因”，它决定于矩正交基函数的性质。 共性主导指标包含误差抑制、算法效率和多畸不变性，这三个指标主要解决从算法上引入的误差、效率以及不变性等影响矩特性的因素，因此称之为决定正交矩性能的“外因”。而且由于多数径向正交矩结构的相似性，这些指标的解决途径在一定范围内具有一般性。 湖 北 工
15、业 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 个性主导目标 评价标准 共性主导目标 图 1.1 正交矩评价体系示意图 正交矩的算法精度越高，其有效信息的比率越大，目标表达所需的矩特征越少，模式识别的工作量也越小。连续正交矩的计算误差分为两类：连续基函数的离散误差和高阶数值近似传递误差。离散正交矩（如 Krawtchouk 矩）由于不需要积分的近似化和空间坐标的转换，没有离散误差，其计算精度只与高阶数值传递误差有关。运算中将精确满足正交性并且能够达到高质量的图像重构。然而，矩的计算精度和算法效率依然制约着正交矩在模式识别领域的发展与应用。 R.Mukundan 首先提出利用离散正交多项式构造离散正交矩
16、，并引入了离散Tchebichef 矩分析图像。随后，Yap22、付波23- 26 和梁俊等人又相继提出了离散Krawtchouk 矩、离散傅里叶- 切比雪夫矩以及离散 Hahn 矩均得到了较好的应用。然而，R.Mukundan的研究表明，即使没有基函数离散误差，高阶矩仍会因数值近似传递误差过大而偏离真实值。在此文中，作者提出利用 x 循环代替 n 循环并结合 x 方向对称性的精确算法，在一定程度可以抑制高阶矩的近似误差传递。虽然该方法能成功用于 Tchebichef矩和 Hahn矩高精度算法中，但对于 Krawtchouk 矩，它只适用于参数 p=0.5 的情况，对于其他情况则无能为力。 矩的算法效率不仅关系正交矩的计算速度，而且直接影响高阶数值近似传递
