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1、导数导数 一一 导数的定义导数的定义 导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念 直接相联系的是以下两个问题： 已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。 这是由英国数 学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来 的。 下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念。 1. 瞬时速度 设一质点作直线运动，其运动规律为)(tss =。若0t为某一确定的时刻，t为邻近于0t的时刻，则 00)()( tttstsv= 是质点在时间段,0tt（或,0tt）上的平均速度，若0tt 时平均速度v的极限存在，则称极限
2、00)()(lim0tttstsv tt= (1) 为质点在时刻0t的瞬时速度。以后我们将会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管它们的物理背景各不相同，但最终都归结于讨论形如(1)式的极限。 2. 切线的斜率 如图所示， 曲线)(xfy =在其上一点),(00yxP处的切线 PT 是割线PQ当动点Q沿此曲线无限接近于 点 P 时的极限位置。 由于割线 PQ 的斜 率为 00)()( xxxfxfk= 由此当0xx 时如果k的极限存在，则极限 00)()(lim0xxxfxfk xx= (2) 即为切线 PT 的斜率。 上述两个问题中，前一个是运动学的问题，后一个是几何学的问
3、题，但是他们都可以归 结于为形如(1)、(2)这种类型的极限。 下面我们给出导数的定义。 定义一定义一 设函数)(xfy =在点0x的某领域内有定义，若极限 00)()(lim0xxxfxfxx(3) 存在，则称函数f在点在点0x处可导处可导，并称该极限为函数f在点在点0x处的导数处的导数，记作)(xf。 令xxx+=0，)()(00xfxxfy+=，则(3)式可改写为 )()()(limlim0000xfxxfxxf xyxx=(4) 所以，导数是函数增量y与自变量增量x之比xy 的极限。这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商差商） ，而导数)(xf则为f在0x处关于x的变化率变
4、化率。 若(3)(或(4)式的极限不存在，则称f在点在点0x处处不不可导可导。 二二 导数的几何意义导数的几何意义 我们已经知道)(xf在点0xx =的切线斜率k，正是割线斜率在0xx 时的极限，即 00)()(lim0xxxfxfk xx= 由导数的定义，)(xfk =，所以曲线)(xfy =在点),(00yx的切线方程切线方程是 )(0 0xxxfyy= (7) 这就是说：函数f在点0x的导数)(xf是曲线)(xfy =在点),(00yx处的切线斜率。若表示这条切线与x轴正向的夹角， 则tan)(=xf。 从而0)(xf意味着切线与x轴正向的夹角为锐角；0)(xf意味着切线与x轴正向的夹角
5、为钝角；0)(=xf表示切线与x轴平行。 定理定理 1 若函数)(xu和)(xv在点0x可导，则函数)()()(xvxuxf=在0x也可导，且 )()()(0 0 0xvxuxf= 定理定理 2 若函数)(xu和)(xv在点0x可导，则函数)()()(xvxuxf=在0x也可导，且 )()()()()(0 000 0xvxuxvxuxf+= 基本求导法则基本求导法则 1. )(vuvu=+ 2. )(uvvuuv+=,)(cucu= 3. 2 )(vuvvu vu=，2 )1(vv v= 基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式 1. 0)(=c （c为常数） 2. 1)(=xx （为任意实数
6、） 3. xxcos)(sin=，xxsin)(cos= 4. xx2sec)(tan=，xx2csc)(cot= xxxtansec)(sec=，xxxcotcsc)(csc= 5. aaaxxln)(=，xxee=)( 6. axxaln1)(log=，xx1)(ln= 微分微分 先考察一个具体问题。设一边长为x的正方形，它的面积 2xS = 是x的函数，若边长由0x增加x，相应地正方形面积的增量 2 02 02 0)(2)(xxxxxxS+=+= S由两部分组成：第一部分xx 02；第二部分2)( x是关于x的高阶无穷小量。由此可见，当给0x一个微小增量x时，由此引起的正方形面积增量S可
7、以近似地用第一部分（x的线性部分xx 02）来代替。由此产生的误差是一个关于x的高阶无穷小量，也就是以x为边长的小正方形的面积。 定义定义 设函数)(xfy =定义在点0x的某邻域)(0xU内。当给0x一个增量x，)(00xUxx+时，相应地得到函数的增量为 )()(00xfxxfy+= 如果存在常数A，使得y能表示成 )( xoxAy+= (1) 则称函数f在点0x可微可微，并称(1)式中的第一项xA为f在点0x的微分微分，记作 xAdyxx=0或 xAxdfxx=0)( 由此可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x的高阶无穷小量，由于dy是x的线性函数，所以当0A时，也说微分dy是增量y的线
8、性主部线性主部。 定理定理 函数f在点0x可微的充要条件是函数f在点0x可导，而且(1)式中的A等于)(xf。 泰勒公式泰勒公式 多项式函数是各类函数中最简单的一种， 用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一 个重要内容。 一一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式带有佩亚诺型余项的泰勒公式 我们在学习导数与微分概念时已经知道，如果函数f在点0x可导，则有 )()()()(000 0xxoxxxfxfxf+= 即在点0x附近， 用一次多项式)()(00 0xxxfxf+逼近函数)(xf时， 其误差为)(0xx的高阶无穷小量。然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近
9、，并要求误差为)(0nxxo，其中n为多项式的次数。为此，我们考察任一n次多项式 n nnxxaxxaxxaaxp)()()()(02 02010+= 逐次求它在点0x处的各阶导数，得到 00)(axpn=，10)(axpn=，20 ! 2)(axpn=，nn nanxp!)(0)(=， 即 )(00xpan=，! 1)(01xpan=，! 2)(0 2xpan=，!)(0)(nxpan n n= 由此可见，多项式)(xpn的各项系数由其在点0x的各阶导数值所唯一确定。 对于一般函数f，设它在点0x存在直到n阶的导数，由这些导数构造一个n次多项式 )()(!)()(! 2)()(! 1)()(
10、)(000)( 2 00 000nnnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxT+= 称为函数f在点0x处的泰勒泰勒(Taylor)多项式多项式，)(xTn的各项系数), 2 , 1(!)(0)( nkkxfk =称为泰勒系数泰勒系数。 以后我们用得较多的是泰勒公式在00=x时的特殊形式： )(!)0( ! 2)0( ! 1)0()0()()( 2 nnn xoxnfxfxffxf+= 它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林（带有佩亚诺余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式公式。 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 (1) =+=02!)(! 21ii nn x ixxonxxxe (2) 120212 153)!12() 1()()!12() 1(! 5! 3sin+= +=+=iii mm mxixomxxxxx (3) iii mm mxixomxxxx2012242)!2() 1()()!2() 1(! 4! 21cos=+=+= (4) 10132)!1() 1()(!) 1(! 3! 2)1ln(+=+=+=+iii nn nxixonxxxxx (5) xiixoxnnxxxinn=+=+02 )!( !)(!) 1() 1( ! 2) 1(1)1 (6) =+=02)(111iinnxxoxxxx
