考研数学三十六技

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1、2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 考研数学三十六技 教务电话： 62701055 网管电话： 62780661-433 _ 清华大学 刘坤林 水木艾迪网址: 考研数学三十六技 考研数学三十六技 概率统计（三十六技之 29-36） 概率统计（三十六技之 29-36） 清华大学 数学科学系 叶俊主讲清华大学 数学科学系 叶俊主讲 三十六技之技二十九： 加减求逆乘法律，全概逆概独立性， 三十六技之技二十九： 加减求逆乘法律，全概逆概独立性， 事件化简是关键，三大概型应活用。 事件化简是关键，三大概型应活用。 【相关知识点】 【相关知识点】 ? 概率基本公式与应用 ? 概率基本公式与

2、应用 1)（逆事件公式） 2)（加法公式）3） （减法公式） 1)（逆事件公式） 2)（加法公式）3） （减法公式） ?条件概率及有关公式(乘法公式、全概率公式与 Bayes 公式) ?条件概率及有关公式(乘法公式、全概率公式与 Bayes 公式) 4)（乘法公式） 5)（全概率公式）6)（Bayes 公式） 4)（乘法公式） 5)（全概率公式）6)（Bayes 公式） 全概率公式： “结果”的概率是各“情形”下，此“结果”的概率地加权平均； 全概率公式： “结果”的概率是各“情形”下，此“结果”的概率地加权平均； Bayes 公式： 已知“结果”找“原因” （或“情形” ） 。 Bayes

3、公式： 已知“结果”找“原因” （或“情形” ） 。 ? 条 件 概 率 具 有 概 率 所 具 有 的 所 有 性 质 ， 如 条 件 概 率 有 性 质 ： ? 条 件 概 率 具 有 概 率 所 具 有 的 所 有 性 质 ， 如 条 件 概 率 有 性 质 ： )|(1)|(CAPCAP= )|()|()|(ACBPCAPCABP= ? 独立性的等价定义及其本质 ? 独立性的等价定义及其本质 ? 事件独立性与随机变量独立性的联系 ? 事件独立性与随机变量独立性的联系 ? 三大概型（古典概型、几何概型、Bernoulli 概型） ? 三大概型（古典概型、几何概型、Bernoulli 概型

4、） 例题 六大公式 例 29-1例 29-1. 设P(A) = 0.4, P(B) =0.6, P(B|A) =0.8. 则)|(BABPU= . 【3/46】 例 29-2例 29-2. 某城市中，共发行 3 种报纸，居民中订有 A 报的有 45%，订有 B 报的有 35%，订有 C 报的有 30%，同时订有 A 报及 B 报的有 10%，同时订有 A 报及 C 报的有 8%，同时订有 B 报 及C报的有5%， 同时订有A， B， C报的有3%， 则 “只订购一种报” 的事件发生的概率为 （ B ） 。 （A）0.655 (B) 0.73 (C) 0.24 (D) 0.30. 例 29例 2

5、9-3 3. 已知74)0()0(,73)0, 0(=YPXPYXP，= )0),(max(YXP. 【75】 清华大学东门外创业大厦 1006 1 2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 考研数学三十六技 教务电话： 62701055 网管电话： 62780661-433 _ 清华大学 刘坤林 水木艾迪网址: 例 29-4例 29-4. 设随机变量X,Y均服从正态分布, 若概率), 0(2N31)0, 0(=YXP，则= )0, 0(0） P(B) = P(B|A)； （P(A)0） 独立与两两独立 性质 2： 事件独立性的本质 【注】性质 1 和 2 对应的随机变量情形，结论如

6、何？ 两事件独立性与随机变量独立性的联系 性质 3： 设随机变量 X 与 Y 都只取两个值， 则 X 与 Y 相互独立当且仅当它们的相关系数为0. 随机变量独立性的判断技巧 例 29-15例 29-15. 对于任意二事件A和B, 则( ) . 【B】 (A) 若 AB , 则AB一定独立. (B) 若 AB , 则AB有可能独立. (C) 若AB , 则AB一定独立. (D) 若AB , 则AB一定不独立. 例 29-16例 29-16. 设A, B, C是三个相互独立的随机事件, 且 0 P(C)1。则在下列给定的四对事件中不相互独立的是 ( ). 【B】 清华大学东门外创业大厦 1006

7、3 2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 考研数学三十六技 教务电话： 62701055 网管电话： 62780661-433 _ 清华大学 刘坤林 水木艾迪网址: (A) BA+与C; (B) AC与C; (C) BA与C; (D) AB与C。 例 29-17例 29-17. 设三事件两两独立，记 321,AAA3 , 2 , 1,11= =iAXi i反之发生如果则一定有( ). 【D】 (A) A1 , A2, A3相互独立; (B) A1A2与A3 独立; (C) X1+X2与X3相互独立; (D) 3相互独立. 31XeX与例29-18例29-18. 于只有3个红球4个

8、黑球的袋中按有放回和不放回两种方式， 逐次随机取一球 （每次抽取记下颜色） ，令 iX= , i =1, 2,. 次取出黑球如第次取出红球如第ii01则 （ ）. 【B】 (A) 有放回时，X1和X2同分布，但X1和X2不独立； (B) 不放回时，X1和X2同分布，且X1和X2不独立； (C) 不放回时，X1和X2不同分布，但是X1和X2独立； (D) 不放回时，X1和X2不同分布，且也X1和X2不独立； 例 29-19例 29-19. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。 【3/4】 例 29-20例 29-20.

9、 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1/9, 事件A发生B不发生的概率与事件A不发生B发生的概率相等, 令 =反之同时发生与事件如果 11BAX， 则 EX = _. 【91】 例 29-21例 29-21. 甲乙两人对同一个目标轮流射击，当一人没命中目标后，就换另一人射击，直到有人命中目标，命中目标者为获胜者，假设甲乙两人命中目标的概率均为p，如甲打第一枪，试分别计算两人的获胜的概率. 【) 10( pqq q+1;11】 例 29-22例 29-22. 试证：如(X,Y)的联合密度f(x,y)有如下形式 =其它, 0, )()(),(dycbxayhxgyxf 清华大学东门外创业

10、大厦 1006 4 2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 考研数学三十六技 教务电话： 62701055 网管电话： 62780661-433 _ 清华大学 刘坤林 水木艾迪网址: 其中实数a b, c d 并允许取无穷. 则X和Y 一定独立. 【注】问题：若 =其它, 010,0,8),(),(yyxxyyxfYX，则X与Y是否独立？ 【不独立】 独立性判断总结 方法 1. 由定义及等价定义或条件分布直接判断. 方法 2. 规则区域上的联合密度有分离变量形式, 则分量一定独立 方法 3. 若 X 与 Y 不相关，则 X 与 Y 一定不独立. 方法 4. 关于随机变量的函数的情况

11、, 有如下结论: 1) 如果X和Y独立, 则g(X)和h(Y)仍然独立; 2) 如果X和Y独立, 且其函数U = u(X, Y) 和 V = v(X, Y) 都是随机变量, 则U和V可能独立, 也可能不独立. 方法 5. 关于二元正态, 分量独立 = 0, 即分量不相关. 方法 6. 设随机变量 X 与 Y 都只取两个值， 则 X 与 Y 相互独立当且仅当它们的相关系数为 0. 例 29-23例 29-23. 设A, B是二随机事件，定义 = =., ,2121 不出现若出现若 不出现若出现若 ByByYAxAxX 试证明X和Y独立的充要条件是A与B独立. 【注】事件A与B的独立等价于相应的二

12、值变量X和Y的独立。 三大概型 例 29-24例 29-24. 在区间 （0， 1） 中随机地取出两个数， 则两数之积小于 0.5 的概率为 。 【)2ln1 (21+】 【注】 等价于“独立X和Y均服从（0，1）上的均匀分布，求)5 . 0(XYP” ，所以许多几何分布的概率题可以化为几何概型来解决. 例 29-25例 29-25. 对某射手打靶考核，有两次命中 6 环以下(不含 6 环)时立即淘汰出局. 如果此射手每次命中 6 环及其以上的概率是 0.8, 则他在第 4 次射击后即被淘汰的概率是 。 【=0.0768】 21 3)8 . 0)(2 . 0(2 . 0C清华大学东门外创业大厦 1006 5 2006 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 考研数学三十六技 教务电话： 62701055 网管电话： 62780661-433 _ 清华大学 刘坤林 水木艾迪网址: 例 29-26例 29-26. 一袋中装有N1 只黑球和一只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只 黑球，这样继续下去，问第k次摸球时摸到黑球地概率是多少。 【NNk1)11 (11】 清华大学东门外创业大厦 1