第8章方差分析《统计学教程》

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1、统计学教程第8章 方差分析 */*统计学教程第8章 方差分析 8.1 方差分析的一般问题8.1.1 方差分析的基本原理8.1.2 方差分析的基本假定 8.2 单因素方差分析8.2.1 单因素方差分析的步骤8.2.2 方差分析表8.2.3 方差分析中的多重比较8.3 双因素方差分析8.3.1 无交互作用的双因素方差分析8.3.2 有交互作用的双因素方差分析 第8章 方差分析 8.1 方差分析的一般问题问题统计学教程*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.1方差分析的一般问题问题 8.1.1 方差分析的基本原理方差分析可以用来分析和判断多个样本的特征数值之间有无显著差异 。以均值为例，当多个样本为

2、来自某一受控因素不同水平的观察数值时 ，若该多个样本的各自均值之间不存在显著差异，即表明这一受控因素 的不同水平对变动的影响是不显著的，属于随机因素引起的随机变动； 反之，若该多个样本的各自均值之间存在着显著差异，即表明这一受控 因素的不同水平对变动的影响是显著的，属于受控因素引起系统性的变 动。因素（Factor）是指方差分析所要检验的对象，也称为因子。水平（Level）是指方差分析因素的具体表现，也称为处理（ Treatment）。观察值（Observational Value）是指在具体的因素水平下的样本数 据。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.1方差分析的一般问题问题 例8.1

3、某企业为了分析研究成品车间的产品质量控制问题，对该车间 的5个班组的产品优等品率进行了一次抽查，在每个班组独立地抽取了5 个优等品率数据构成了随机样本。表8.1 某企业成品车间5个班组优等品率抽查情况 %*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.1方差分析的一般问题问题 因此，方差分析是依据具体的因素水平下的观察值，对因素进行显著性假设检验的方法和过程。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.1方差分析的一般问题问题 在方差分析中，各样本观察值之间的差异称之为总差异，用总离差平 方和来表示。总离差平方和（Sum of Squares）是每一观察值与其总均 值的离差的平方的总和。根据因素的不同水平

4、，方差分析将观察值之间的差异以及总离差平方 和分解为两部分。一部分是同一水平下观察值之间的差异，称之为组内 离差，通常用组内离差平方和来度量（Sum of Squares Within Groups ）；另一部分是不同水平观察值之间的差异，称之为组间离差，通常用组 间离差平方和（Sum of Squares Between Groups）来度量，例如表8.1 中5个班组观察值均值之间的差异，就是组内离差，采用每一班组观察 值的样本均值与总均值之间离差的平方和来度量。方差分析是将具体的因素水平下观察值的差异分解为不受因素水平影 响的组内离差，和受到因素水平影响的组间离差，并通过显著性假设检 验，

5、来判断所研究的因素是否具有显著的系统性变动特征的方法和过程 。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.1方差分析的一般问题问题 8.1.2 方差分析的基本假定方差分析基本假定的一般性的表述为，设因素A有个k水平，在每个具 体水平下，总体分布为 。注意这里个总体方差 均相等，并且在每个水平下抽取一个样本，所取得的个样本相互独立。显然，以上表述规定了方差分析的3项基本假定。1每个总体均服从正态分布。对应于具体因素的每一个水平，其观 测值都是来自正态总体。2每个总体具有同等方差，即方差齐性要求。对应于具体因素的每 一个水平，其观测值都是来自具有同等的方差的正态总体。3观测值都是相互独立的。每一观测值

6、都是来自具有同等方差的正 态总体的独自同分布样本。第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析统计学教程*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 8.2.1 单因素方差分析的步骤1提出假设方差分析的第一步就是建立假设。按照具体的水平，针对所检验的对 象提出原假设和备择假设，当因素有个k水平时，需要提出如下假设。不全相等原假设表示在不同的下的各个总体均值相等，即不同的水平对总体均 值没有显著影响；备择假设表示在不同的下的各个总体均值不全相等， 至少有一个总体均值与其它总体均值不等，即该因素的不同的水平对总 体均值存在显著影响。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素

7、方差分析 2计算均值 （1）水平均值水平均值（Level Mean）是指根据具体水平下的观察值的均值。一般 将第项水平的水平均值记为，有计算公式为（8.1）（2）总均值总均值（Total Mean）是指全部观察值的均值，也为水平均值的均值 。总均值一般记为，有（8.2）*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 按照式（8.1），由表8.1的数据可以计算出例8.1中各组的水平均值 。表8.2 某企业成品车间5个班组优等品率水平均值 %按照式（8.2），由表8.2的数据可以计算出例8.1的中该企业成品车 间5个班组优等品率的总均值为86.04%。*/*统计学教程 第8章 方差分

8、析 8.2 单单因素方差分析 3计算离差平方和（1）总离差平方和总离差平方和（Sum of Squares for Total, SST）是指全部观察值与 总均值的离差的平方和，反映了全部观察值离散程度的总规模。有（8.3）按照式（8.3），由表8.2的数据可以计算出例8.1的总离差平方和SST为 286.96。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 （2）水平项差平方和水平项离差平方和（Sum of Squares for Factor A, SSA）是指各项 水平的水平均值与总均值的离差的平方和，反映了各项水平代表性数值 各项水平均值之间离散程度的规模。有（8.4）按

9、照式（8.4），由表8.2的数据可以计算出例8.1的水平项离差平方 和SSA为183.76。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 （3）误差项离差平方和误差项离差平方和（Sum of Squares for Error，SSE）是指各项水 平的观察值与其水平均值的离差的平方和之和，反映了各项水平内部观 察值离散程度的总和。有（8.5）按照式（8.5），由表8.2的数据可以计算出例8.1的误差项离差平方 和SSE为103.20。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 （4）离差平方和之间的关系从方差分析的角度，在三项离差平方和中，总离差平方和SST所

10、度量 的离散程度包括了全部观察值的所有变异；水平项离差平方和SSA是对 各项水平之间的差异程度进行度量的测度，即包括了随机离差，又包括 了系统离差；误差项离差平方和SSE反映的是各个水平内部的离散程度 ，仅仅包括随机离差。这三项离差平方和存在着水平项离差平方和SSA与误差项离差平方和 SSE之和等于总离差平方和SST 的数量对等关系。即（8.6）因此，可以通过比较水平项离差平方和SSA与误差项离差平方和SSE数 值，对所设定的因素的不同水平对总体均值没有显著影响的原假设进行 检验，最终作出接受还是拒绝原假设的判断。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 4计算均方均方（M

11、ean Square）是指离差平方除以其自由度的商。计算均方的 关键是正确地确定各离差平方的自由度。 （1）SSA的均方MSA水平项离差平方和SSA的自由度为k-1，则有其均方MSA为（8.7）按照式（8.7），可计算出例8.1的MSA为45.94。 （2）SSE的均方MSE误差项离差平方和SSE的自由度为n-k，则有其均方MSE为（8.8）按照式（8.8），可计算出例8.1的MSE为5.16。 */*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 （3）SST的均方MST总离差离差平方和SST的自由度为n-1，则有其均方MST为（8.9）总离差平方和SST是由个观察值计算的离差平方和

12、，并含有1个线性约 束条件，所以总离差平方和SST的自由度为n-1。显然有水平项离差平方 和SSA与误差项离差平方和SSE两者的自由度之和，等于总离差平方和 SST的自由度，即n-1=(k-1)+(n-k)。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 5计算F检验统计量误差项离差平方和SSE与总体方差之比服从自由度为的卡方分布，即（8.10）水平项离差平方和SSA与总体方差之比服从自由度为的卡方分布，即（8.11）有式（8.9）和式（8.10）的比值服从第一自由度为k-1，第二自由度 为n-k的F分布，即（8.12）由式（8.12），可计算出例8.1的检验统计量的数值为8.9

13、031。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 5计算F检验统计量误差项离差平方和SSE与总体方差之比服从自由度为的卡方分布，即（8.10）水平项离差平方和SSA与总体方差之比服从自由度为的卡方分布，即（8.11）有式（8.9）和式（8.10）的比值服从第一自由度为k-1，第二自由度 为n-k的F分布，即（8.12）由式（8.12），可计算出例8.1的检验统计量的数值为8.9031。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 6统计判断在计算出F检验统计量的具体数值之后，将F检验统计值与给定的显著 性水平的F分布临界数值相比较，作出接受还是拒绝原假设的统

14、计判断 。若F检验统计值落在由F分布临界数值界定的接受域内，则接受原假设 ；反之，便拒绝原假设。例8.1的检验统计值为 8.9031，在显著性水平为0.05时，有F检验临 界值为2.8661。显然，F检验统计值 8.9031大于F分布的临界数值。因 此，作出拒绝原假设的统计 判断，认为 不同的班组是该企业成品车间 产品质量的显著性影响因素。 */*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 8.2.2 方差分析表 表8.3 方差分析表表8.4 Excel 单因素方差分析表 */*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 8.2.3 方差分析中的多重比较当方差分析得出拒

15、绝原假设时，不能由此推断该因素各水平两两之间 都存在显著差异。在方差分析中，将解决这类问题的方法称为方差分析 中的多重比较。多重比较方法（Multiple Comparison Procedures）是指通过不同水 平均值之间的两两配对比较，来检验各个总体均值之间是否存在显著差 异的假设检验方法和过程。最小显著性差异法是一种使用比较普遍的多 重比较方法。最小显著性差异法（Least Significant Difference, LSD）是指在 方差分析中，采用T统计量对各水平是否存在显著差异进行逐一两两配 对比较的假设检验方法。*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 在

16、第7章中，讨论了在两个服从正态分布总体的方差和为未知且相等 的场合，对总体均值假之差进行假设检验时，采用统计量来进行假设检 验，可以在方差分析关于方差匀性（方差相等）的前提下，引申出对于 多个个总体均值的统计量假设检验方法。有（8.14）当各水平的观测值个数相等时。则式（8.14）又可简约地写为（8.15）*/*统计学教程 第8章 方差分析 8.2 单单因素方差分析 例8.2 采用例8.1中各组观测值表8.1和表8.2中各组水平均值数据， 采用最小显著性差异法，检验各组总体均值之间的差异是否显著。解 要求检验各组总体均值之间的差异是否显著，意味着需要进行5个 水平的成对组合数进行假设检验，即进行10项假设检验。可以将此假设 检验依次分为4组。在显著性水平为0.05，自由度为20的双侧检验临界值 为 2.08596。 表8.5 采用最小显著性差异法计算的例8.1 检验统计量第8章 方差分析 8.3