浅谈空间图形中角求法

《浅谈空间图形中角求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈空间图形中角求法（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1浅谈空间图形中角求法浅谈空间图形中角求法普兰店第六中学普兰店第六中学 汤发贵汤发贵 立体几何中，角的求法是一个很重要的问题，解决起来也比较立体几何中，角的求法是一个很重要的问题，解决起来也比较吃力，本文对这一类问题的解决给出了几种常用的方法。吃力，本文对这一类问题的解决给出了几种常用的方法。根据定义找出或作出所求的角，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是 090，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是 090，其解法是作垂线、找射影；二面角 0180，其方法是：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法头 头 头 头 头

2、 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 另外也可借助空间向量求这三种角的大小.1 如图，四棱锥中，侧面是边长为 2 的正三角形，且PABCDPDC 与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.ABCD60ADCMPB ()求与底面所成角的大小；PAABCD ()求证：平面；PACDM ()求二面角的余弦值. DMCB解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方

3、法是向量法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 答案：(I)取 DC 的中点 O，由 PDC 是正三角形，有 PODC又平面 PDC底面 ABCD，PO平面 ABCD 于 O连结 OA，则 OA 是 PA 在底面上的射影PAO 就是 PA 与底面所成角2ADC=60，由已知 PCD 和 ACD 是全等的正三角形，从而求得 OA=OP=3PAO=45PA 与底面 ABCD 可成角的大小为 45 6 分(II)由底面 ABCD 为菱形且ADC=60，DC=2，DO=1，有OADC 建立空间直角坐标系如图，则, ( 3

4、, 0, 0),(0, 0,3),(0,1, 0)APD( 3, 2, 0),(0,1, 0)BC由 M 为 PB 中点，33(,1,)22M33(, 2,),( 3, 0,3),22DMPA (0, 2, 0)DC ，3332 0(3)022PA DM 032 00 (3)0PA DC PADM，PADC PA平面 DMC4分(III)令平面 BMC 的法向量，33(, 0,),( 3,1, 0)22CMCB ( , )nx y z则，从而 x+z=0； , ，从而 0n CM 0n CB 30xy由、，取 x=1，则 可取3,1yz( 1,3,1)n 由(II)知平面 CDM 的法向量可取

5、，( 3, 0,3)PA 所求二面角的余弦值为2 310cos,5|56n PAn PAnPA 6 分10 5 法二：（）取的中点，连接，由（）知，在菱形APNMN 中，由于，ABCD60ADC3则，又，则，即，AOCDPOCDCDAPO 平面CDPA又在中，中位线，则，PAB/MN1 2AB1/2COAB/MN CO则四边形为 ，所以，在中，OCMNA/MCONAPOAOPO 则，故而，ONAPAPMCMCCDC 则PAMCD 平面 （）由（）知，则为二面角的平MCPAB 平面NMBDMCB 面角，在中，易得，RtPAB6,PA22226210PBPAAB，210cos510ABPBAPB故

6、，所求二面角的余弦值为10coscos()5NMBPBA 10 5点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.2 如图，在长方体中，点在线1111ABCDABC D11,2,ADAAABE段上.AB（）求异面直线与所成的角；1D E1AD（）若二面角的大小为1DECD，求点到平面45B的距离.1D EC解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求角度1DABCD

7、E1A1B1C4和距离,在求此类问题中，要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.答案：解法一：（）连结。由已知，是正方形，有1AD11AAD D。11ADAD平面，是在平面内的射影。AB 11AAD D1AD1D E11AAD D根据三垂线定理，得，则异面直线与所成的11ADD E1D E1AD角为。90作，垂足为，连结，则DFCEF1D F1CED F所以为二面角的平面角，.1DFD1DECD145DFD于是111,2DFDDD F易得，所以，又，所以RtRtBCECDF2CECD1BC 。3BE 设点到平面的距离为 .B1D ECh

8、即， 1,B CEDD BCEVV111 11 1 3 23 2CE D F hBE BC DD，即，.11CE D F hBE BC DD2 23h 6 4h 故点到平面的距离为。B1D EC6 4解法二：分别以为 轴、轴、 轴，建立空间直角1,DA DB DDxyz坐标系.（）由，得1(1,0,1)A1(1,0,1)DA 设，又，则。(1, ,0)Ea1(0,0,1)D1(1, , 1)D Ea 111 0 10DA D E 11DAD E 5则异面直线与所成的角为。1D E1AD90（）为面的法向量，设为面的法(0,0,1)mDEC( , , )x y zn1CED向量，则( , , )

9、x y zn 222|2|cos,|cos45|2zxyz m nm nmn. 222zxy由，得，则，即(0,2,0)C1(0,2, 1)DC 1DC n10DC n 20yz由、，可取( 3,1,2)n又，所以点到平面的距离(1,0,0)CB B1D EC。|36 42 2CBd n |n|点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量归结于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较容易写出来。总之，在立体几何中，求角是高考中的高频考点。而这个问题的处理有两只方法，一种是找角即把要求的角在图形中找出或作出，然后再计算；另一种是利用空间向量即把图形放到空间直角坐标系中，利用平面向量和平面的法向量求角。