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1、1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求(复杂时)如P69 4先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法、(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)内容回顾公式法在原点的各偏导数是否存在？讨论：是否连续？2显然求的一阶偏导数及解:当 时,及(0,0)点处的二阶偏导数.同理不存在与而显然解:当 时,不存在,不存在,*二、全微分在数值计算中的应用(简介) 应用 一元函数 y = f (x) 的微分近似计算 本节内容:一、全微分的定义 全微分一、全微分的定义 定
2、义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，处全增量则称此函数在D 内可微.(2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微由微分定义得可微必连续:函数在该点连续偏导数存在 函数可微 则 定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在
3、该点偏导数同理可证证: 由全增量公式必存在,且有得到对 x 的偏增量另 函数也必连续反例: 函数易知 fx(0,0)= fy(0,0)=0注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:我们已知道函数f(x,y)在(0,0)处不连续,则当然不可微.定理2 (充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微.所以函数在点可微 .注意到, 故有例如考查函数易知 也连续,但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .定理3 (可微的充要条件)!在原点：偏导数是否存在？讨论：是否连续？是否可微？20. 所以不可微.推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数习惯上把自变
4、量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是(一阶偏导数连续)例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解:例2. 计算函数的全微分. 解: 可知当*二、全微分在数值计算中的应用仅从理论上 简单讲述在近似计算方面的应用由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算函数的增量)(可用于近似计算函数值) 例3.计算的近似值. 解: 设,则取则9.3内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续3. 微分在近似计算中的应用(略)(反例略)思考与练习1. P129 题 1 (总习题九)函数在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .2. 选择题3. 设解: 同理 可得（先代入）（后求导）作业 P751 (3) , (4) ; 3 . 预习9.44). f (x,y)在点 (0,0) 可微 .备用题1).在点 (0,0) 连续; 2).偏导数存在;不连续;证: 1) 显然故函数在点 (0, 0) 连续 ; 3).偏导数在点 (0,0)证明函数2)同理极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不连续 .3)4) 下面证明可微 :说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则
