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1、1函数周期性和抽象函数赏析浙江省 瑞安第二中学 谢作相 联系方式 15868523805周期性是函数的一个重要性质，是学习函数的一个难点，大部分学生解答此 种题型束手无策，下面总结这个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数 的相关习题。 一、一、知识点归纳知识点归纳 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域)(xfTx内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数非零常)()(xfTxf)(xf 数叫做这个函数的周期T（2）最小正周期：对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最)(xf小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期 （三角函数中若没有)(xf特别指
2、出，周期一般都是指最小正周期） 二、几个重要的结论1、设函数f(x)对任意实数 x,都有, 则2T是的一个周期.()( )f xTf x ( )f x2、设函数f(x)对任意实数 x,都有, 则2T是的一个周期()()f xTf xT( )f x3、设函数对任意，都有,则2T是的一个周期)(xfRx1()( )f xTf x ( )f x4、设函数对任意，都有,则4T是的一个周期)(xfRx1()()f xTf xT( )f x5、若偶函数满足（） ，则2T是的一个周期)(xfy )()(xTfxTf0T( )f x6、若奇函数满足（） ，则4T是的一个周期)(xfy )()(xTfxTf0T
3、( )f x7、形如 y=Asin(x+) 或 y=Acos(x+)的周期为2T 以上可作为结论记，注意与的区别()()f xTf xT()()f Txf Tx 证证明明题题 1：已知函数f(x)对任意实数 x,都有,求证:2T是f(x)的一个周期.()( )f xTf x 证明：因为()( )f xTf x 所以(2 )()()( )f xTfxTTf xTf x 所以f(x)是以2T为周期的周期函数.2证明证明题题 2 2：已知函数f(x)对任意实数 x,都有,求证:2T是f(x)的一个周期()()f xTf xT证明：因为 ()()f xTf xT所以(2 )()()( )f xTfxT
4、TfxTTf x所以f(x)是以2T为周期的周期函数. 证明证明 6： 如果奇函数满足（） ，则函数是以 4T)(xfy )()(xTfxTf0T)(xfy 为周期的周期性函数。 证明：因为f(xT)f(x-T) 所以(4 )(3 )(3 ) (2 )(2 )() ()()( )f xTf TxTf TxT fxTf xTf TxT f TxTfxf x 所以f(x)是以4T为周期的周期函数. 其他请读者自行证明 三、试试看，练练笔1已知函数( )f x 是(,) 上的偶函数，若对于0x ，都有(2( )f xf x），且当0,2)x时，2( )log (1f xx ） ，则( 2008)(2
5、009)ff的值为_2函数对于任意实数满足条件，若则 f xx 12f xf x 15,f _ 5ff3已知定义在实数集上的奇函数始终满足，且当时， f x 2f xf x 01x ，求的值 f xx15 2f4、设偶函数对任意，都有，且当时，)(xfRx)(1)3(xfxf2, 3 x,则的值为_xxf2)()5 .113(f5函数是定义在上的偶函数，又是以 2 为周期的周期函数，如果( )yf xR3在上是减函数，则在上是（ ）( )f x 1,0( )f x2,3A增函数 B先减后增的函数 C减函数 D先增后减的函数 附参考答案： 1: 1 222( 2008)(2009)( 20082
6、*1004)(20092*1004) (0)(1)(0 1)(1 1)1ffff ffLogLog 周期为，2: 1 5 4(5)(5 1 4)(1)5 ( (5)( 5)( 5 1 4)( 1) 112+2111( 1)=-1+215fff f fffff xf xf xf xfff 周期为，因为所以3: 1 215151114()(4 4)()( )22222ffff 周期为，4: 1 551 )5 . 2(1 )5 . 03(1)5 . 0()5 . 06()5 . 5(5 . 56185 .1136)(fffffffTxf 为为为为为为为为为为为为为为5: A 因为函数是定义在上的偶函数，又在上是减函数( )yf xR( )f x 1,0所以在上是增函数，又因为周期为 2，所以在上是增函数( )f x0,1( )f x2,3
