《安徽新闻出版职业技术学院教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽新闻出版职业技术学院教案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心安徽新安徽新闻闻出版出版职业职业技技术术学院教案学院教案科科 目目 高等数学高等数学 年年 级级 大大专专 任任课课教教师师 数学教研室数学教研室课 题第一章 定积分的概念教 学 目 的1.掌握定积分的概念；2.理解定积分的性质；3. 理解定积分的几何意义重 点 难 点重难点：定积分的定义与引入背景挂 图 或 实 验 用 具作 业课堂作业及课后练习安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心本 课 小 结教教 案案 第 1 页安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心教教学学过过程程定积分是积分学中的另一个重要概念我们先从几何学与力学问题出发
2、引进定积分的概念，然后讨论它的性质和计算方法，最后介绍定积分在几何、物理、经济方面的一些应用一、定一、定积积分分问题举问题举例例曲曲边边梯形的面梯形的面积积设是区间上的非负连续函数，由直线，)(xfy ,baax bx 及曲线所围成的图形（如图 51），称为曲曲边边梯形梯形，曲线0y)(xfy 称为曲边现在求其面积)(xfy A由于曲边梯形的高在区间上是变动的，无法直接用已有的)(xf,ba梯形面积公式去计算但曲边梯形的高在区间上是连续变化的，)(xf,ba当区间很小时，高的变化也很小，近似不变因此，如果把区间)(xf分成许多小区,ba间，在每个小区间上用某一点处的高度近似代替该区间上的小曲边
3、梯形的变高那么，每个小曲边梯形就可近似看成这样得到的小矩形，从而所有小矩形面积之和就可作为曲边梯形面积的近似值如果将区间无限细分下,ba去即让每个小区间的长度都趋于零，这时所有小矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积其具体做法如下：1 首先在区间内插入个分点,ba1nbxxxxxxann13210L安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心安徽新安徽新闻闻出版出版职业职业技技术术学院教学院教师专师专用用纸纸教教 案案 第 2 页安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心教教学学过过程程把区间分成个小区间 ，各小区间的长度依,ban,1iixx), 2, 1(niL,1iixx次记为
4、 过各个分点作垂直于轴的直线，将整个曲1iiixxx), 2, 1(niLx边梯形分成个小曲边梯形（如图 51），小曲边梯形的面积记为 niA), 2, 1(niL（2）在每个小区间上任意取一点，作以为高，,1iixxi)(1iiixx)(if底边为的小矩形，其面积为，它可作为同底的小曲边梯形的近似值，ixiixf)(即iiixfA)(), 2 , 1(niL把个小矩形的面积加起来，就得到整个曲边梯形面积的近似值：nAiniiniixfAA 11)(（3） 记，则当时，每个小区间的长,max21nxxxL0,1iixx度也趋于零此时和式的极限便是所求曲边梯形面积的精确值， ixiniixf 1
5、)(A即iniixfA 10)(lim 二、定二、定积积分的定分的定义义我们看到，虽然曲边梯形面积和变速直线运动路程的实际意义不同，但解决问题的方法却完全相同概括起来就是：分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限抛开它们各自所代表的实际意义，抓住共同本质与特点加以概括，就可得到下述定积分的定义定定义义 1 设设函数函数在区在区间间上有界，在上有界，在上插入若干个分点上插入若干个分点)(xfy ,ba,ba， ，bxxxxxxann13210L安徽新安徽新闻闻出版出版职业职业技技术术学院教学院教师专师专用用纸纸安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心教教 案案 第 3 页教教学学过过程
6、程将区将区间间分成分成个小区个小区间间,ban， ，, ,12110nnxxxxxxL各小区各小区间间的的长长度依次度依次记为记为，在每个小区，在每个小区间间上任取一点上任取一点1iiixxx), 2 , 1(niLi，作乘，作乘积积并作出和式并作出和式)(1iiixxiixf)(), 2 , 1(niL iniixf 1)(记记，如果不，如果不论对论对区区间间怎怎样样分法，也不分法，也不论论在小区在小区间间上点上点max 1inix ,ba,1iixx怎怎样样取法，只要当取法，只要当时时，和式，和式总趋总趋于确定的于确定的值值， ，则则称称在在i0iniixf 1)(I)(xf上可上可积积，
7、称此极限，称此极限值值为为函数函数在在上的定上的定积积分，分，记记作作，即，即,baI)(xf,babadxxf)( iniibaxfdxxf 10)(lim)( 其中叫做被被积积函数函数，叫做被被积积表达式表达式，叫做积积分分变变量量，叫做积积分分)(xfdxxf)(xa下限下限，叫做积积分上限分上限，叫做积积分区分区间间b,ba注注 1 定积分是一个依赖于被积函数及积分区间的常量，与积分变)(xf,ba量采用什么字母无关即bababaduufdttfdxxf)()()(注注 2 定义中要求，为方便起见，允许，并规定ba ab 及badxxf)(abdxxf)(aadxxf0)(函数在上满足
8、什么条件一定可积？这个问题我们不作深入讨论，仅)(xf,ba给出以下两个充分条件安徽新安徽新闻闻出版出版职业职业技技术术学院教学院教师专师专用用纸纸安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心教教 案案 第 4 页教教学学过过程程定理定理 若若在区在区间间上上连续连续， ，则则在在上可上可积积；若；若)(xf,ba)(xf,ba在区在区间间上有界，且上有界，且仅仅有有限个第一有有限个第一类间类间断点，断点，则则在在上上)(xf,ba)(xf,ba可可积积 三、定定积积分的几何意分的几何意义义（1）若在上，则由曲边梯形的面积问题知，定积分,ba0)(xf等于以为曲边的上的曲边梯形的面积，即ba
9、dxxf)()(xfy ,baAbadxxf)(A由此可知图 52 中阴影部分的面积可分别归结为)(),(ba， )(2122abxdxba222 2RdxxRRR（2）若在上，因，从而，,ba0)(xf0)(if0)(1 iniixf此时的绝对值与由直线，及曲线0)(badxxfbadxxf)(ax bx 0y所围成的曲边梯形的面积相等（见图 53），即)(xfy AAdxxfba)(（3）若在上有正有负，则等于上位于轴上方,ba)(xfbadxxf)(,bax的图形面积减去轴下方的图形面积例如对图 54 有x安徽新安徽新闻闻出版出版职业职业技技术术学院教学院教师专师专用用纸纸安徽新闻出版职
10、业技术学院 合肥中德印刷培训中心教教 案案 第 5 页安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心教教学学过过程程badxxf)(1)(xadxxf21)(xxdxxfbxdxxf2)(321AAA四、定四、定积积分的性分的性质质性性质质 1 被被积积函数中的常数因子可以提到函数中的常数因子可以提到积积分号外面即分号外面即（ （为为常数）常数）badxxkf)(badxxfk)(k证证 iniibaxkfdxxkf 10)(lim)( xfknii 10)(lim badxxfk)(性性质质 2 函数的和（差）的定函数的和（差）的定积积分等于他分等于他们们定定积积分的和（差），即分的和（差）
11、，即 badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(证证 badxxgxf)()(iniiixgf 10)()(lim iniiiniixgxf 1010)(lim)(lim badxxf)(badxxg)(此性质对有限多个函数的代数和也成立性性质质 3 对对于任意三个数于任意三个数，恒有，恒有cba, badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(证证 当时，因为函数在上可积，所以无论对怎样bca)(xf,ba,ba划分，和式的极限总是不变的因此在划分区间时，可以使 永远是一个分点，c那么上的积分和等于上的积分和加上上的积分和，即,ba,ca,bci baixf,)(i caix
12、f,)(i bcixf ,)(安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心安徽新安徽新闻闻出版出版职业职业技技术术学院教学院教师专师专用用纸纸 教教 案案 第 6 页安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心教教学学过过程程令，上式两端取极限得0；badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(同理，当时bac，bcdxxf)(acdxxf)(badxxf)(所以 badxxf)(bcdxxf)(acdxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(其它情形仿此可证性性质质 4 如果在如果在上上， ，则则 ,ba0)(xf0)(badxxf证证 因为，所以，又，所以 0)(xf0)(if),
13、2 , 1(niL0ix，于是0)(1 iniixf0)(lim)(10 iniibaxfdxxf 同理可证，如果在上，则,ba0)(xf0)(badxxf性性质质 5 如果在如果在上上， ，则则 ,ba)()(xgxfbadxxf)(badxxg)(证证 因为在上，则，即 ,ba)()(xgxf0)()(xgxf，0)()(badxxgxf于是 badxxf)(badxxg)(性性质质 6 如果在如果在上，上， ，则则 ,ba1)(xfbadxxf)(abdxba1性性质质 7 设设， ，是函数是函数在区在区间间上的最大上的最大值值与最小与最小值值， ，则则Mm)(xf,ba )()()(a
14、bMdxxfabmba证证 因为 ，由性质 5，得 Mxfm)(，bamdxbadxxf)(baMdx所以 )()()(abMdxxfabmba安徽新安徽新闻闻出版出版职业职业技技术术学院教学院教师专师专用用纸纸安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心教教 案案 第 7 页安徽新闻出版职业技术学院 合肥中德印刷培训中心教教学学过过程程性性质质 8 （ （积积分中分中值值定理）定理）设设函数函数在在上上连续连续， ，则则在在上至少上至少)(xf,ba,ba存在一点存在一点使得使得 )()(abfdxxfba)(ba该该公式叫做公式叫做积积分中分中值值公式公式证证 因为在上连续，所以在上一定有最小值和)(xf,ba)(xf,bam最大值，由性质 7，M，)()()(abMdxxfabmba即 mdxxfabba)(1M是介于的最小值与最大值之间的一个数，根据闭区间dxxfabba)(1)(xf连续函数的介值定理，至少存在一点，使得,ba成立，即dxxfabfba
