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1、7 应力状态和强度理论 7-1 概述 7-2 平面应力状态的应力分析 主应力7-3 空间应力状态的应力分析 7-4 应力与应变间的关系 7-5 强度理论及其相当应力 7-6 各种强度理论的应用7.1 概述n n 问题的提出问题的提出如：轴向拉伸杆件斜截面应力：问题1：构件不同截面上的应力一般是不同的；构件同一截面上不同点处的应力一般是不同的；构件同一点处，在不同方位截面上应力一般是不同的。横截面应力：要全面研究一点处各截面的应力要全面研究一点处各截面的应力低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸 铁脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？低碳钢铸 铁解释这些现象解释这些现象, ,必须研究一点所
2、有截面上的应力必须研究一点所有截面上的应力, , 知道哪个面上的应力最大知道哪个面上的应力最大问题2： 拉压、 扭转及弯曲等基本变形的强度条件对于更复杂的受力状态，强度条件如何建立？有必要研究一点的应力状态。受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合, 称为该点处的应力状态应应 力力哪一个面上？哪一个面上？ 哪一点？哪一点？哪一点？哪一点？ 哪个方向面？哪个方向面？指明指明n n 一点的应力状态的概念一点的应力状态的概念研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。n n 一点的应力状态的描述一点的应力状态的描述研究一点
3、的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体 单元体单元体 进行分析进行分析各边边长各边边长, , ,d dx xd dy yd dz z在单元体各面上标上应力在单元体各面上标上应力应力单元体应力单元体单元体特征：单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；任意一对平行平面上的应力相等。矩形截面悬臂梁内一点的应力状态 abcd A（1）、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值由大到小。过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力301050单位：MPa3010n n 应力状态的分类应力
4、状态的分类单向应力状态： 只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。二向应力状态： 有两个主应力不等于零 ，另一个主应力等于零的应力状态。三向应力状态： 三向主应力都不等于零的应力状态。 （2)、应力状态的分类平面应力状态： 单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态： 二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态： 三向应力状态简单应力状态： 单向应力状态。纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。空间应力状态空间应力状态yxz平面应力状态平面应力状态xyxyxy单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态取单元体示例一取单元体示例一FPl/2l/2S 截面543
5、2154321S 截面12335432154321S 截面取单元体示例二取单元体示例二FPlaS截面xzy4321S S 截面截面yxzFSyMx4321143忽略弯曲切应力忽略弯曲切应力Mz7-2 平面应力状态的应力分析 主应力7.2.1 斜截面上的应力解析法等价空间问题简化 为平面问题- 逆时针转为正。由分离体平衡得：单元体各面面积由切应力互等定理和三角变换，可得：符号规定： 1 )“”正负号同“ ”；2 ) “ ”正负号同“ ” ；3 ) “ ”为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。讨论：1 )2 ) 的极值、主应力以及主平面方位
6、单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为一常数主平面的方位主应力的大小可以确定出两个相互垂直的平面主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。若若若3 ) 切应力 的极值及所在截面最大切应力所在的位置xy 面内的最大切应力主平面的位置最大切应力所在的位置将max 与max、min 画在原单元体上例7-1 图示单元体，求 斜面的应力及主应力、主平面并画出主应力单元。（单位：MPa）300405060解：1、求斜面的应力2、求主应力、主平面画主应力单元主应力：主平面位置：主应力单元：7.2.2 平面应力状态分析应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆消参数（ 2 ），得：l l 应力应力圆
7、：圆：圆心：C半径：RC应力圆：l l 应力圆的画法应力圆的画法D1(x ,x)D2(y ,y)CRADx xy y1. 作横轴为 轴，纵轴为 轴；2. 2. 标定与微元垂直的标定与微元垂直的A、D面上面上的的应力对应的点应力对应的点D1和和 D D2 23. 3. 连连线线 D1 D D2 2交交 轴于轴于C点，点，C 即为圆心，即为圆心， D1 D D2 2为为 应力圆直径应力圆直径点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力l l 几个对应关系几个对应关系x xy yHn n转向对应半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；二倍角
8、对应半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。D1(x ,x)D2(y ,y)CHD1 点的坐标 ( x , x ) 对应 单元体 x 平面上的应力D2 点的坐标 ( y , y ) 对应 单元体 y 平面上的应力H 点的坐标 ( , ) 对应 单元体 斜截面上的应力l 利用应力圆求主应力和主平面位置主应力A1和 A2两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力 1 ，2OxD1yyB2D2C主平面方位由 CD1 顺时针转 20 到 CA1所以从 x 轴顺时针转 0 （负值）即到主应力1对应的主平面的外法线0 的确定OxD1yyB2D2C2由于 A1A2 为应
9、力圆的直径, 则主应力 2 所在的另一主平面与主应力 1 所在的主平面垂直例7-2 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图 所示。试绘出截面 C 上 a 点处的应力圆，并用应力圆求出该点处的主应力。250kN1.6m2mABC12015152709za单位：mm解: 首先计算支反力, 求截面C的剪力和弯矩MC = 80 kNmFSC- = 200 kN横截面 C 上 a 点的应力为a 点的单元体如图所示。以D1D2为直径作应力圆。OC(122.5 , 64.6)(0 , - 64.6)A1，A2两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力 1 和 3。OC(122.5 , 64.6)(0 , - 64
10、.6)A1A2A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面主平面及主应力如图所示。例7-3 试用解析法和图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力，并在单元体上标出主应力的方位。解：解析法 易知x 1 1 3 3连接D1D2交横轴于C ，以C为圆心，CD1为半径作圆。解：图解法A1，A2两点的横坐标分别代表 两个主应力 1 和 3。A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面主平面及主应力如图所示。A1A2x 1 1 3 3D1，D2两点的纵坐标分别代表 最大和最小切应力 max 和 min。例7-4 已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图解法求 角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主平面
11、的方位。95MPa45MPa2OaabbC954595MPa45MPa2oaabbC9545A1A2122a2bab7.3 空间应力状态的应力分析7.3.1 空间应力状态空间应力状态的最普遍情况 x x 平面平面：法线与 x x 轴平行的平面。y y , , z z 平面的定义类似。平面的定义类似。第一下标第二下标xyzOxy 表示 x 平面沿 y 方向的切应力第一下标表示切应力所在的平面。第二下标表示切应力的方向。xyzO独立的应力分量有 6 个根据切应力互等定理，在数值上有正负号规定：正应力规定同前，拉应力为正，压应力为负；切应力规定不同于以前，正面正向为正，负面负向为正，反之，为负 7.
12、3.2 空间应力状态分析 构件内某一点处三个主应力 1、2、3与 3平行的斜截面上的应力可在 1、 2 应力圆的圆周上找到对应的点。与 2平行的斜截面上的应力可在 1、 3 应力圆的圆周上找到对应的点。与 1平行的斜截面上的应力可在 2、 3 应力圆的圆周上找到对应的点。1).弹性理论证明，图示单元体内任意截面上的应力都对应着三向应力圆上或阴影区内的一点。2).整个单元体内的最大切应力为：结论 max例7-5 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）xyz305040CBA解：【解析法】1) 由单元体知：x 面为主平面之一,2) 求 y-z 面内的最大、最小正应力。3) 主应力4) 最大切
13、应力解：【图解法】 1) x 面为主平面之一2) 建立应力坐标系如图，画 y-z 平面的应力圆及三向应力圆得: O(MPa)（MPa ）10D1D2C 1 3 2maxxyz305040CBA7.4 应力应变间的关系l 三向应力状态：（广义虎克定律）+l 单向应力状态：l 广义胡克定律的一般形式:主应力与主应变方向是否一致 ?在线弹性范围内，由于各向同性材料的正应力只引起线应变，主应力指向与主应变方向是一致广义胡克定律的应用求平面应力状态下任意方向的正应变：+90求出 ,就可求得 方向的正应变 展开上式，并略去高阶微量：l 体积应变体积应变与应力分量间的关系:-平均应力。体积应变单位体积的体积
14、改变例7-6 槽形刚体内放置一边长为 a = 10 cm 正方形钢块，试求钢块的三个主应力 。F = 8 kN，E = 200 GPa, m = 0.3。解：1) 研究对象：2)由广义虎克定律：正方形钢块例7-7 已知一受力构件自由表面上的两各主应变数值为 1 = 24010-6 ， 3 = -16010-6 。构件材料为Q235钢，其弹性模量E = 210 GPa，泊松比m = 0.3。求该点处的主应力值，并求该点处另一主应变 2 的数值和方向。解：主应力1， 2， 3 与主应变1， 2， 3 一一对应。由于构件自由表面，所以主应力2 = 0。该点为平面应力状态。该点处另一主应变 2 的数值
15、为2 是缩短的主应变，其方向必与 1 和 3 垂直，即沿构件的外法线方向。Dty Mkx例7-8 壁厚 t =10mm , 外径 D = 60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点处与其轴线成 45和135 角即 x, y 两方向分别贴上应变片，然后在圆筒两端作用矩为 M 的扭转力偶，如图所示已知圆筒材料的弹性常数为 E = 200GPa 和 m = 0.3 ，若该圆筒的变形在弹性范围内，且 max = 10MPa , 试求k点处的线应变 x ，y 以及变形后的筒壁厚度。Dty Mkxxyk求得 x，y 和 z方向的正应力，即主应力为解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体，为纯剪切应力状态k 点处的线应变 x , y 为圆筒表面上 k 点处沿径向 ( z 轴) 的应变为同理可得圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为 ) 处的径向应变为因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为 t =10mm .7.5 强度理论及其相当应力7.5.1 强度理论的概念l 常温、静载下材料破坏的两种形式(1)屈服(流动)失效: 材料破坏前发生显著
