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1、机械与汽车工程学院 第五章 微分变换 Chapter Differential Relationships5.1 引言5.2 微分矩阵 5.3 微分平移和旋转变换 5.4 微分旋转 5.5 坐标系之间的微分变换 5.6 机械手的微分变换方程 雅可比方程 5.7 雅可比逆矩阵5.8 本章小结Date1机械与汽车工程学院5.1 引言（Introduction）微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制（如力控、刚度控制、阻抗控制、顺应控制等）中十分重要。例如当摄像机或 其它传感装置检测到机器人末端执行器的位置和方向的微小变化 时，需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换到基坐标或参考坐标系。在
2、机器人刚度控制中，需要获得在控制坐标系 中力与位置的微分变换。又如将直角坐标的微分变换转化为关节 坐标的微分变换，还有在下一章介绍的机器人动力学问题时，也 会用到微分变换。本章将介绍微分变换的基本原理和方法，包括 微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆 雅可比矩阵及其应用。 Date2机械与汽车工程学院5.2 微分矩阵（Derivative Matrixes） 给出一个44的矩阵A（5.1）矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下（5.2）Date3机械与汽车工程学院5.3 微分平移和旋转变换 ( Differential Translation an
3、d Rotation ) 微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以是针对某个指定的坐标系进行。例如对于一个变换矩阵T，它对基坐标的微分变换可表示为（5.3）式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标 的向量k旋转d角。由此可得到（5.4）如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结果可表示为（5.5）此时，式中 是在T坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy ，dz； 是绕T坐标的向量k旋转d角。由此可得到（5.6） Date4机械与汽车工程学院我们用符号 来表示式（5.4）和式（5.6）中的 并将它称为微分变换算子（5.6）这样式（
4、5.4）和式（5.6）就可写成如下形式（5.7）和 （5.8）式（5.7）中的微分变换算子 是针对基坐标的，而式（5.8）中的微分变换 算子 则是针对T坐标的。在第二章我们给出了平移和一般性旋转变换的齐次变换矩阵表达式，平移变换矩阵是1 0 0 a0 1 0 b Trans( a, b, c ) = 0 0 1 c （5.9）0 0 0 1Date5机械与汽车工程学院当平移向量是微分向量ddxi+dyj+dzk时，微分平移矩阵为1 0 0 dx0 1 0 dy Trans( d ) = 0 0 1 dz （5.10）0 0 0 1一般性旋转变换的变换矩阵是kxkxvers + cos kykx
5、vers - kzsin kzkxvers + kysin 0kxkyvers + kzsin kykyvers + cos kzkyvers - kxsin 0 Rot( k,) = kxkzvers - kysin kykzvers + kxsin kzkzvers + cos 0 (5.11)0 0 0 1 当进行微分旋转变换时，旋转角d极小，此时有如下关系Date6机械与汽车工程学院将上述关系代入式（5.11）可得1 - kzd kyd 0kzd 1 - kxd 0Rot( k, d) = - kyd kxd 1 0 (5.12)0 0 0 1由式（5.6）可得(5.13)Date7机
6、械与汽车工程学院5.4 微分旋转 (Differential Rotations)式（5.13）给出的微分变换算子 是基于微分旋转角d的微分平移和旋 转变换表达式，下面讨论绕坐标轴x、y、z旋转x、y、z的微分变换。第二章给出的绕坐标轴x、y、z旋转的变换矩阵分别为（5.14）（5.15）（5.16）Date8机械与汽车工程学院在微分变换的情况下，sind，con1，上面三个式子变为（5.17）（5.18）（5.19）由此可得到（5.20）Date9机械与汽车工程学院比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转d的微分旋转与绕x、y 、z轴分别旋转 的结果相同，即（5.21）由此可
7、得到绕坐标轴x、y、z旋转x、y、z的微分变换算子为（5.22）微分变换算子中的元素由微分平移向量d和微分旋转向量的各个分量组成，即（5.23）（5.24）将上述二个向量组合构成一个微分运动矢量D（5.25）这样，我们就可根据式（5.25）给出的微分运动矢量D直接得到微分变换算 子 ，或基于T坐标的微分运动矢量 的微分变换算子 。Date10机械与汽车工程学院【例5.1】已知坐标A的变换矩阵为当用微分平移矢量d = 1i + 0j + 0.5k和微分旋转矢量 0i + 0.1j + 0k对坐标A 进行变换时，求出微 分变换的结果dA。解：首先，由式（5.22）求出微分变换算子由式（5.7）可得
8、即微分变换结果如图5.1所示。xyzzAyA+dAx图5.1 坐标A的微分变换Date11机械与汽车工程学院 5.5 坐标系之间的微分变换(Transforming Differential Changes between Coordinate Frames)上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系 之间的微分变换，也就是已知微分变换算子 ，如何求出T坐标的微分变换算子 。由式（5.7）和（5.8）可知（5.26）则为 （5.27）上式是一个重要的表达式，它描述了坐标系之间的微分变换关系。下面我 们用微分平移矢量d和微分旋转矢量 来推导 的表达式。已知变换矩阵T为Dat
9、e12机械与汽车工程学院我们用矢量的叉乘来得到式（5.27）等号右边二项的乘积（5.29）式中d和 分别是微分平移和微分旋转矢量。用 左乘式（5.29）可得（5.30）上式矩阵元素都具有如下矢量三重积形式根据矢量三重积的性质有（5.31）Date13机械与汽车工程学院同时，三重积中只要有二个矢量是相同的，其结果为零。如（5.32）根据上述性质，式（5.30）可写成（5.33）对于正交矢量有（5.34）这样，式（5.33）可重写成（5.35）Date14机械与汽车工程学院上式可进一步简化为（5.36）比较式（5.35）和式（5.36）的矩阵元素可得（5.37）（5.38）在式（5.37）和式（5
10、.38）中，n、o、a和p是微分坐标变换矩阵T的旋转 和平移矢量， 和 是对应坐标T的微分平移和旋转矢量。Date15机械与汽车工程学院式（5.37）和式（5.38）也可用66的矩阵形式表示如下（5.39）将上式写成式（5.36）和式（5.37）的形式如下（5.40）（5.41）式（5.40）和式（5.41）是后续内容中要经常用到的重要结果。Date16机械与汽车工程学院【例5.2】给出与例5.1相同的坐标的变换矩阵、微分平移矢量和微分旋转矢量如下：d = 1i + 0j + 0.5k 0i + 0.1j + 0k试求出坐标A上的等效微分变换dA。解：由坐标变换矩阵A可得到相应的旋转与平移矢量
11、由此可求出根据式（5.40）和式（5.41）得到Date17机械与汽车工程学院用上述结果来验证坐标A上的等效微分变换dA，由式（5.8）有由已求出的 、 和式（5.36）可得到则上述结果与例5.1相同。Date18机械与汽车工程学院 5. 6 机械手的微分变换方程雅可比方程（The Manipulator Jacobian）在第三章我们介绍过，机械手的运动学方程由它的末端相对于基坐标的齐次变换矩阵T6表示，即T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 （5.42）其中每一个关节变换矩阵Ai描述了该关节坐标相对于前一个关节坐标的变换关系，关节变量用qi表示，如果是旋转关节，关节变量是i，它是绕
12、前一个关节坐标z轴的旋转角度；如果是滑动关节，关节变量是di，它是沿前一个关节坐标z轴滑动的距离。同样，当我们讨论机械手的微分变换方程时，首先定义微分关节变量为dqi，如果是旋转关节，则为di，如果是滑动关节，则为ddi。Date19机械与汽车工程学院机械手第i个关节的微分变换引起第6个连杆末端（即机械手末端） 的微分变换dT6可由下式表示：（5.43）则 （5.44）由式（5.27）可得到机械手末端的微分变换算子（5.45）其中（5.46）如果关节i是旋转关节，则di = 0，式（5.40）和式（5.41）变为（5.47）（5.48）Date20机械与汽车工程学院当 ，为单位微分旋转矢量时，
13、式（5.47）和（5.48）可进一步简化为（5.49）（5.50）如果关节i是棱形滑动关节，则i0，di = 0i + 0j + 1k，式（5.40）和式（5.41）变为（5.51）（5.52）机械手末端坐标T6的微分变换是所有6个关节微分变量的函数，可用66 的矩阵表示，矩阵元素由6个关节的微分平移和微分旋转矢量构成，该矩阵称 为雅可比矩阵。它的每一列元素为对应关节的微分平移和微分旋转矢量。应 用雅可比矩阵的机械手微分变换方程雅可比方程如下：（5.53）Date21机械与汽车工程学院 5.7 雅可比逆矩阵（The Inverse Jacobian）当微分变换是由直角坐标空间向关节坐标空间进行时，由式（5.53）可得到（5.72）上式等号右边矩阵是雅可比逆矩阵。显然，用符号运算来得到雅可比逆阵是很困难的，因为微分变换要进行大量算术运算，同时当机械手出现退化时，其结 果会出错。为此，我们采用第四章介绍
