北大版材料力学-第3章 扭转

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1、第三章 扭转3-1 概述3-2 薄壁圆筒的扭转3-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件3-5 等直圆杆扭转时的变形 刚度条件3-6 等直圆杆扭转时的应变能3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形*3-8 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力与变形13-1 概 述变形特点： . 相邻横截面绕杆的轴线相对转动；. 杆表面的纵向线变成螺旋线；. 实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。第三章 扭转薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。MeMe2圆轴扭转变形第三章 扭转3本章研

2、究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。第三章 扭转43-2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒通常指 的圆筒当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩扭矩(torque)第三章 扭转mmTMelMemmMedr0Od5薄壁圆筒的扭转第三章 扭转6. 薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律第三章 扭转推论：(1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如 同刚性平面一样；(2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。MeAD B CMejg7横截面上的应力：(1

3、) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所有点处的切应力相同；(2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3) 横截面上无正应力。第三章 扭转Memmxr0t dA8. 薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：由 根据应力分布可知引进 ，上式亦可写作，于是有第三章 扭转Memmxr0t dA9. 剪切胡克定律(Hookes law in shear)(1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变(shearing strain)。(2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。(3) 在认为切应力沿

4、壁厚均匀分布的情况下，切应变也是 不沿壁厚变化的，故有 ，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。 第三章 扭转MeAD B CMejgl10薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t 不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T )与相对扭转角j 成线性正比例关系，从而可知t 与g 亦成线性正比关系：这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量(shear modulus)。钢材的切变模量的约值为：G =80GPa第三章 扭转MeAD B CMejg113-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图. 传动轴的外力偶矩当传动轴稳定转动时，作用于某一轮上的外力偶在t秒钟内所作功

5、等于外力偶之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角a 。第三章 扭转12因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率为因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：第三章 扭转13主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。第三章 扭转14. 扭矩及扭矩图传动轴横截面上的扭矩T 可利用截面法来计算。第三章 扭转TMeMeTT = MeMeMe1115扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。第三章 扭转T(+)T(-)16例题3-1 一传动轴

6、如图，转速 ；主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。 第三章 扭转17解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩第三章 扭转182. 计算各段的扭矩BC段内：AD段内：CA段内：(负)第三章 扭转注意这个扭矩是假定为负的193. 作扭矩图由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56 kNm。 第三章 扭转20思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？第三章 扭转21第三章 扭转15.94.786.37 4.78223-4 等直圆杆扭转

7、时的应力强度条件. 横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况(问题的几何方面)横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系(问题的物理方面)内力与应力的关系横截面上应力的计算公式(问题的静力学方面)第三章 扭转231. 表面变形情况：(a) 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但它们的大小和形状未变，小变形情况下它们的间距也未变；(b) 纵向线倾斜了一个角度g 。平面假设等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。(1) 几何方面第三章 扭转242. 横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：即第

8、三章 扭转bbTT O1O2dj GGD DaadxAEggrrEAO1Ddj DGGO2 d/2dxgrgr25式中 相对扭转角j 沿杆长的变化率，常用j 来表示，对于给定的横截面为常量。可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应变gr 均相同；gr 与r 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。第三章 扭转bbTT O1O2dj GGD DaadxAEggrr26(2) 物理方面由剪切胡克定律 t = Gg 知第三章 扭转可见，在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力tr 均相同，其值 与r 成正比，其方向垂直于半径。27(3) 静力学方面其中 称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截

9、面的几何性质。从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式以 代入上式得：第三章 扭转28式中Wp称为扭转截面系数，其单位为 m3。横截面周边上各点处(r = r)的最大切应力为第三章 扭转29实心圆截面：圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp第三章 扭转30思考：对于空心圆截面， ,其原因是什么？空心圆截面：第三章 扭转31以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取一微小的正六面体单元体。可得：. 单元体 切应力互等定理由单元体的平衡条件Fx=0 和Mz=0 知单元体的上、下两个平面(即杆的径向截面上)必有大小相等、指向相反

10、的一对力tdxdz并组成其矩为(tdxdz)dy 力偶。第三章 扭转由32即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t 和t 数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线切应力互等定理。第三章 扭转33思考：对于图示单元体，切应力t, t ,t, t 是否互等？第三章 扭转34现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力。. 斜截面上的应力第三章 扭转35分离体上作用力的平衡方程为利用t =t ，经整理得第三章 扭转36由此可知：(1) 单元体的四个侧面(a = 0和 a = 90)上切应力的绝对值最大；(2) a =-45和a =+45截面上切应力为零，

11、而正应力的绝对值最大；，如图所示。第三章 扭转37至于上图所示单元体内不垂直于前、后两平面的任意斜截面上的应力，经类似上面所作的分析可知，也只与单元体四个侧面上的切应力相关。因此这种应力状态称为纯剪切应力状态。第三章 扭转38低碳钢扭转试验开始第三章 扭转低碳钢扭转试验结束39低碳钢扭转破坏断口 第三章 扭转40铸铁扭转破坏试验过程第三章 扭转41铸铁扭转破坏断口第三章 扭转42思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？第三章 扭转43例题3-2 实心圆截面轴(图a)和空心圆截面轴(图b) （ ）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在

12、横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。第三章 扭转44解：第三章 扭转由t1,max=t2,max，并将a 0.8代入得45两轴的重量比即为其横截面面积之比：空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。第三章 扭转46. 强度条件此处t为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。第三章 扭转47例题3-4 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22

13、kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力t =80 MPa。试校核该轴的强度。第三章 扭转48BC段内AB段内解：1. 绘扭矩图2. 求每段轴的横截面上的最大切应力第三章 扭转493. 校核强度需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。t2,max t1,max，但有t2,maxt = 80MPa，故该轴满足强度条件。第三章 扭转503-5 等直圆杆扭转时的变形刚度条件. 扭转时的变形等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) j 来度量。第三章 扭转MeAD B CMejg51当等直圆杆相距 l 的两横截面之

14、间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角j为第三章 扭转52解： 1. 各段轴的横截面上的扭矩：例题3-5 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jCB(这里相对扭转角的下角标的注法与书上不同，以下亦如此)。第三章 扭转533. 横截面C相对于B的扭转角：2. 各段轴的两个端面间的相对扭转角：第三章

15、 扭转54. 刚度条件式中的许可单位长度扭转角j的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴j0.150.30 ()/m；对于一般的传动轴j2 ()/m。第三章 扭转55解: 1. 按强度条件求所需外直径D例题3-6 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5 。已知材料的许用切应力t = 40 MPa，切变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax = 9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角j=0.3 ()/m。试选择轴的直径。第三章 扭转562. 按刚度条件求所需外直径D3. 空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a = d/D = 0.5知第三章 扭转57思考：从图a所示受扭圆杆中取出的分离体如图b所示。根据横截面上切应力沿直径CD的分布规律，由切应力互等定理可知径向截面ABCD上沿圆轴的半径方向亦有如图所示分布的切应力。试问此径向截面上切应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？第三章 扭转583-6 等直圆杆扭转时的应变能纯剪切应力状态下的应变能密度第三章 扭转对处于纯剪切应力状态的单元体(图a)，为计算其上的外力所作功dW可使左侧面不动，