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1、材料力学（Materials of Mechanics）第九章第九章弯曲刚度问题弯曲刚度问题1材料力学（Materials of Mechanics）9-1 9-1 引言引言9-29-2挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程9-4 9-4 计算梁的位移的叠加法计算梁的位移的叠加法9-3 9-3 计算梁位移的积分法第九章第九章 弯曲刚度问题弯曲刚度问题2材料力学（Materials of Mechanics）一、基本要求一、基本要求1 1）会用积分法求挠曲线微分方程；由边界条件和连续条会用积分法求挠曲线微分方程；由边界条件和连续条 件求待定积分常数。件求待定积分常数。2 2）熟练用叠加法求梁的位移
2、；熟练用叠加法求梁的位移；3) 3) 梁的刚度条件进行和简单超静定梁的求解；梁的刚度条件进行和简单超静定梁的求解；二、授课重点、难点二、授课重点、难点重点：用叠加法解静定梁的变形；重点：用叠加法解静定梁的变形；难点：积分法求梁的变形，用边界条件和连续条件求积分常难点：积分法求梁的变形，用边界条件和连续条件求积分常 数。数。 第九章第九章 梁的变形梁的变形3材料力学（Materials of Mechanics）9-1 9-1 引言引言一 、工程中的弯曲变形问题机加工车间 的行车大梁4材料力学（Materials of Mechanics）9-1 9-1 引言引言5材料力学（Materials
3、of Mechanics）二、研究弯曲变形的目的限制和利用梁的变形；进行梁的刚度计算，分析静不定梁；为研究压杆稳定问题提供理论基础 。9-1 9-1 引言引言6材料力学（Materials of Mechanics）三、梁变形的度量1、挠曲线的概念受力产生弯曲变形的梁，其轴线将由原来的水平直线变成一条平面曲线，称为梁的挠曲线 (deflection curve)。挠曲线F9-1 9-1 引言引言7材料力学（Materials of Mechanics）2、挠度与转角挠度截面形心沿垂直与梁轴线发生的线位移，用w表示。xxF ABwccB挠曲方程： w=f(x)正负号：规定向下为正三、梁变形的度量
4、w9-1 9-1 引言引言8材料力学（Materials of Mechanics）转角：每一横截面绕其中性轴转过的角度。（横截面对其原来位置的角位移） 表示 =f2(x)顺时针为正3、转角(angle of rotation)xxF AByccB三、梁变形的度量（ ）9-1 9-1 引言引言9材料力学（Materials of Mechanics）4、挠度和转角的关系x xF ABwcc挠曲线 w=f(x) 上任意点的切线斜率为：tan由于挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线所以 很小转角方程 ： 结论：梁截面的转角等于该截面的挠度w对于位置坐标x 的一阶导数。=dw/dx9-1 9-1 引言引言
5、10材料力学（Materials of Mechanics）2）几何关系：（高等数学）返回1）物理关系：9-2 挠曲轴近似微分方程挠曲线的近似微分方程式一、挠曲线的近似微分方程11材料力学（Materials of Mechanics）一、挠曲线的近似微分方程9-2 挠曲轴近似微分方程12材料力学（Materials of Mechanics）1、基本方程：9-3 计算梁位移的积分法2、积分一次求转角：3、积分二次求挠曲线方程： C、D积分常数，由边界条件与挠曲线的光滑连续条件确定。13材料力学（Materials of Mechanics）（1）边界条件（boundary condition
6、s）-梁横截面的已知位移或约束条件 简支梁支座处x=0 ; =0, w=0x=0 ; wA=0; 4、积分常数的确定 悬臂梁固定端x=a+b ; wB=09-3 计算梁位移的积分法14材料力学（Materials of Mechanics）（2）连续光滑条件(continuity condition)-梁的分段处，其挠曲线所应满足的连续、光滑条件。ABlaCMABabxCx=a 时，如：中间铰处9-3 计算梁位移的积分法15材料力学（Materials of Mechanics）1、外伸梁，其边界条件和连续条件？x=0，wA=0；课堂练习x=4；wB=0； wB左= wB右 B左= B右16材
7、料力学（Materials of Mechanics）2、用积分法计算图示梁的挠度，其边界条件和连续条件为：(A)(B)(C)(D)正确答案是（ ） xalOwq课堂练习17材料力学（Materials of Mechanics）课堂练习3、用积分法计算图示梁的挠度，其边界条件和连续条件为：(A) (A) (B) (C) (D) xy18材料力学（Materials of Mechanics）例1：已知梁长L， EI ，求wB和B。求约束反力 FAy=F ， mA= FL弯矩方程：M(x)=Fx-FLxFxAB举例应用列梁的挠曲线近似微分方程19材料力学（Materials of Mechan
8、ics） 求位移方程Fxx ABw= (FLx-Fx2/2)+C/EI w=(FLx2/2- Fx3/6+Cx+D)/EI举例应用 确定积分常数 x=0 ，wA= 0， D=0 x=0 A= 0 ， C=0w= (FLx-x2/2) /EI w=(FLx2/2- Fx3/6)/EI 求B截面转角和位移，将 x=L 代入20材料力学（Materials of Mechanics）试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数C和D等于零吗？ 思 考21材料力学（Materials of Mechanics）9-49-4 计算梁的位移的叠加法计算梁的位移的叠加法在小变形和线弹性
9、范围内，梁上几种载荷共同作用所产生的效果（内力、应力和变形），等于每种载荷单独时所产生的效果之和叠加原理。用叠加原理求梁变形的方法叠加法（1）载荷叠加法 用于等截面直梁同时受几个载荷作用所引起的梁的变形的叠加。一、叠加法22材料力学（Materials of Mechanics）ABCFWc1ABCWc 2mBA L/2L/2CFm例2：如图所示梁，求：A、B和中点挠度。解：将梁分为力F和力偶m单独作用的情况：举 例 应 用23材料力学（Materials of Mechanics）A2= mL/6EI F：A1、B1、yc1m：A2、B2、yc2ABCFyc1ABCyc 2mwc1 = FL
10、3/48EI A1= -B1= FL2/16EIB2= - mL/3EI wc2 = mL2/16EI举 例 应 用24材料力学（Materials of Mechanics）A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI wc= wc1 + wc2 = FL3/48EI +mL2/16EI举 例 应 用A L/2L/2CFm25材料力学（Materials of Mechanics） 例3：计算悬臂梁的挠度yc。ACBaayB Byc解：1、 将梁AB看作悬臂梁，在均布荷载q的作用下 ：查表： yB= qa4/8EIB=
11、 qa3/6EI举 例 应 用26材料力学（Materials of Mechanics）2、 把 梁BC看作梁AB的延伸部分，由于BC段未受力的作用，所以这段梁虽有位移，但无变形，仍为 直线。由于小变形： yC= yB + BayB BycACBaayc= qa4/8EI +qa4/6EI= 7qa4/24EI （）举 例 应 用27材料力学（Materials of Mechanics）例4：求C截面挠度和转角。（1）yc1 = -7qa4/24EI() ，c1 = -qa3/6EI= =+ +BaaACq解：原图可以看成以下两种情况的叠加BaaACqq （1）q（2）举 例 应 用28材
12、料力学（Materials of Mechanics）（2） yc2 = q（2a）4/8EI()= =+ +BaaACqq （1）q（2）（3） yc = yc1+yc2 =41qa4/24EI()c2= q（2a）3/6EI=8qa3/6EI（顺时针）c = c1+ c2 =-qa3/6EI+q(2a)3/6EI = 7qa3/6EI（顺时针）举 例 应 用29材料力学（Materials of Mechanics）BCAqa2 /2qaa课 堂 练 习用叠加法求图示梁 C 截面的挠度（EI = 常数）30材料力学（Materials of Mechanics） 例5：外伸梁ABC受载荷如
13、图，求悬臂点A的挠度。 解：原题可看成是一简支梁和悬臂梁的叠加。qaqa2/2+qAB abCq举 例 应 用31材料力学（Materials of Mechanics）yA1 = B1a = qa3 b/6EI 转角： B1= -( b/3EI)( qa2/2)1）考虑BC段即为简支梁，则AB段视为刚体 位移：截面B的转动，带动AB段一起做 刚体转动，从而使A端产生位移 yA1 。yA1B1qaqa2/2ABC举 例 应 用32材料力学（Materials of Mechanics）yA22）考虑 AB段即为悬臂梁所以总位移： 查表 yA2 = qa 4/8EIqAByA1B1qaqa2/2
14、ABCyA1 = Ba = qa3 b/6EIyA= yA1+ yA2 yA=qa3 (4b+3a)/24EI举 例 应 用33材料力学（Materials of Mechanics）9-69-6 梁的刚度校核梁的刚度校核一、梁的刚度校核1、 对梁的挠度，其容许值通常用梁的挠度与跨长的比值f/L作为标准。4 2、 f/L的取值：1/2501/40004 3、刚度条件：ymax/L f/L4 4、刚度条件的应用：4 刚度校核、设计截面、确定许用荷载。34材料力学（Materials of Mechanics）二、提高梁刚度的措施以承受均布载荷的简支梁为例：影响因素：载荷、支撑情况、材料、截面和跨
15、长9-6 9-6 梁的刚度校核梁的刚度校核35材料力学（Materials of Mechanics） 增大抗弯刚度 EI。由于不同牌号的钢材其弹性模量E大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。9-6 9-6 梁的刚度校核梁的刚度校核36材料力学（Materials of Mechanics）如果将两个铰支座往内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为(a )调整跨长 9-6 9-6 梁的刚度校核梁的刚度校核37材料力学（Materials of Mechanics） 将静定梁改为超静定梁（增加支撑）所以：提高梁的刚度措施1、合理选择截面形状与材料提高抗弯刚度EI2、合理调整梁的加载方式降低Mmax3、合理安排梁的跨度与约束增加约束、减少梁 的跨长。9-6 9-6 梁的刚度校核梁的刚度校核38材料力学（Materials of Mechanics）本章小结4 （1）积分法求梁的位移(会写边界条件和连续条件)4
