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1、结构力学第十五章 结构动力计算2 / 72第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动工程中的结构有些可简化为单自由度体系分析单层工业厂房 水塔有些不能作为单自由度体系分析，需简化为多自由度体系进 行分析多层房屋、高层建筑 不等高厂房排架和块式基础多自由度体系受迫振动的解是齐次解与特解之和，所以 自由振动分析（齐次解）是基础.自由振动分析的核心是确定体系的动力特性。第十五章 结构动力计算3 / 72多自由度体系无阻尼运动方程刚度法形式：柔度法形式：多自由度体系无阻尼自由振动方程刚度法形式：柔度法形式：第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动第十五章 结构动力计算4 / 72设特解：设特解： 按这一形式的振
2、动有以下特点按这一形式的振动有以下特点 振动过程中两质点间同频率、同相位角；振动过程中两质点间同频率、同相位角； 质点位移在数值上随时间变化，但彼此间质点位移在数值上随时间变化，但彼此间 比值保持不变。比值保持不变。这种结构位移形状这种结构位移形状 保持不变的振动形保持不变的振动形 式，称为式，称为主振型主振型。 第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解第十五章 结构动力计算5 / 72代入代入刚度法方程刚度法方程（1 1）1 = = 2 = 0= 0 不振动的解不振动的解（2 2）1，2 至少有一个不为零至少有一个不为零 振动的解振动的解振型方程振型方程第五节
3、 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解第十五章 结构动力计算6 / 72非零非零解的条件：解的条件：振型方程振型方程的系数行列式为零的系数行列式为零频率方程频率方程 存在两个特征解1 ，2 ; 其中最小的一个称第一（基本）圆频率，较大 的一个称第二圆频率。第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解第十五章 结构动力计算7 / 72第二阶主振型第一阶主振型振型方程的解只可得出振幅的相对比值振型方程的解只可得出振幅的相对比值第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解第十五章 结构动力计算8 / 72代入代入柔度
4、法方程柔度法方程设：设：振型方程振型方程第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解第十五章 结构动力计算9 / 72非零非零解的条件：解的条件：振型方程的系数行列式为零振型方程的系数行列式为零频率方程频率方程 存在两个特征解1 ，2 ; 其中最大的一个对应第一圆频率1，较小的一 个对应第二圆频率2 。第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解第十五章 结构动力计算10 / 72第二阶主振型第一阶主振型第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解第十五章 结构动力计算11 / 72通解对应1的特解对应2的特解
5、由初始条件确定四个常数第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解第十五章 结构动力计算12 / 72重要特性： 频率个数等于体系自由度数； 主振型也是体系的固有特性； 多自由度体系振动可看成不同主振动之线性 组合，或说体系振动可按主振动分解； 只有在质量的初位移和初速度与某主振型一 致时，体系才会按该主振型做简谐振动。第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动1、两自由度体系运动方程的特解和通解第十五章 结构动力计算13 / 72例题：两层刚架，横梁为刚性，立柱的抗弯刚度EI1、 EI2,立柱的质量忽略不计，横梁的质量m1，m2,每 层高度h1，h2，求自振频率和振型。
6、m2m1h2h1第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动2、两自由度体系的频率和振型计算举例刚度法第十五章 结构动力计算14 / 72k21k11解：当k22k1211第十五章 结构动力计算15 / 72代入频率方程：第十五章 结构动力计算16 / 72第一主振型：第二主振型：21=1.61811=122=0.61811=1第十五章 结构动力计算17 / 72如n = 90时特征方程：当第十五章 结构动力计算18 / 72可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧 移很大。如：屋顶消防水池上人屋面设计的楼电梯间女儿墙屋顶建筑物等。建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大
7、反应的现象，称为鞭梢效应。如n = 90，则第十五章 结构动力计算19 / 72柔度法y1(t)设解为y2(t)第十五章 结构动力计算20 / 72令第十五章 结构动力计算21 / 72主振型主频率第十五章 结构动力计算22 / 72例题：简支梁在三分点处有两各相等的集中质量m，不 计梁本身重量，梁的抗弯刚度为EI，求自振频率和振型 。mmEIl/3l/3l/32l/92l/9第十五章 结构动力计算23 / 72第十五章 结构动力计算24 / 72多自由度体系分析方法与两自由度体系分析方法一样1 自振频率2 主振型第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动3、多自由度体系的频率和振型第十五章 结构动
8、力计算25 / 72自振频率与主振型一一对应振型只表明振动的形状，不能唯一确定其幅值振型是多自由度特有的概念注意方法2：规定振型 i满足3 振型的标准化补充条件，使主振型用确定的幅值表示 方法1：规定振型中某元素为1，其它元素就是相对 于它的比值。(通常选第一个元素或最大一个元素，令其等于1)第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动3、多自由度体系的频率和振型第十五章 结构动力计算26 / 72某自由振动的解它的线性组合也是自由振动的解任意初始条件下的位移解答均 可用全部振型的线性组合表示第五节 无阻尼多自由度体系的自由振动4、多自由度体系自由振动的通解第十五章 结构动力计算27 / 72矢量代数
9、的两个矢量点积等于0，即称两个矢量垂直矩阵代数的两个向量满足下式，即称两个向量正交第六节 多自由度体系振型的正交性1、正交的概念称带权正交第十五章 结构动力计算28 / 72n 自由度体系的 n 个振型向量中，对应于不同 自振频率的振型之间存在着对质量矩阵和刚度 矩阵的正交性。第六节 多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性第十五章 结构动力计算29 / 72正交性证明正交性证明第六节 多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性第十五章 结构动力计算30 / 72 振型关于质量、刚度矩阵正交的进一步推广振型关于矩阵 KM-1K正交第六节 多自由度体系振型的正交性2、振型向量的正交性第十五
10、章 结构动力计算31 / 72第 i 阶振型的惯性力第 i 阶振型的惯性力在第 j 阶振型的位移 上所作的虚功为零（也即某振型产生的惯性 力在其它振型上不作功）。第六节 多自由度体系振型的正交性3、振型正交性的物理解释第十五章 结构动力计算32 / 721 可利用振型的正交性验证所求振型的正确性。2 利用振型求振型对应的自振频率。第六节 多自由度体系振型的正交性4、振型正交性的利用第第j j 阶广义质量阶广义质量第第j j 阶广义刚度阶广义刚度第十五章 结构动力计算33 / 723 位移的分解任意给定位移向量，均可表达为 n 个振型的线 性组合（叠加）：第六节 多自由度体系振型的正交性4、振型
11、正交性的利用第十五章 结构动力计算34 / 724 将多自由度体系变换成多个单自由度求解第六节 多自由度体系振型的正交性4、振型正交性的利用第十五章 结构动力计算35 / 725 自由振动初值确定第六节 多自由度体系振型的正交性4、振型正交性的利用记：第十五章 结构动力计算36 / 72例题：检验框架结构振型的正确性mmll第六节 多自由度体系振型的正交性5、多自由度体系振型正交性应用举例第十五章 结构动力计算37 / 72例题：已知三层框架结构第一、第二阶振型，求频率,并 用振型表示位移向量 。m1=180103kgm2=1.5m1m3=1.5m1k1=98103kN/mk2=2k1k3=2
12、.5k1第十五章 结构动力计算38 / 721、首先利用振型正交性求第三振型第十五章 结构动力计算39 / 722、求广义质量3、求广义刚度第十五章 结构动力计算40 / 724、求各阶圆频率第十五章 结构动力计算41 / 725、用振型分解位移向量第十五章 结构动力计算42 / 72第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动第十五章 结构动力计算43 / 72 共振分析如果就会出现共振。在 n个自由度的振动中，当外界激振力的频率等于体系的任 意一阶自振频率时，都会出现共振，即体系存在 n个共振点 。 共振使体系产生较大变形，使用寿命受到影响；但也可以通 过共振测量体系的固
13、有频率，又可以利用共振曲线，用功率 谱法可以测定体系的阻尼比。第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动第十五章 结构动力计算44 / 72 特例分析在简谐激振力作用下的稳态振动，两质点都做简谐振动。在简谐激振力作用下的稳态振动，两质点都做简谐振动。代入方程，消去共同因子并整理代入方程，消去共同因子并整理 第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动第十五章 结构动力计算45 / 72第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动第十五章 结构动力计算46 / 721 1、 0 0时，方程趋于静力方程，相当于静载时，方程趋于静力方程，相当于
14、静载。2 2、 时，质点位移趋于零，相当于静止时，质点位移趋于零，相当于静止。3 3、 i 时，位移变得很大，系统将产生共振。有几个时，位移变得很大，系统将产生共振。有几个 频率就对应几个共振点。频率就对应几个共振点。第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动第十五章 结构动力计算47 / 725 5、当将激振力幅值和惯性力幅值同时加在结构上时，、当将激振力幅值和惯性力幅值同时加在结构上时， 位移和内力幅值的计算可按静力法进行。位移和内力幅值的计算可按静力法进行。4 4、质点的惯性力、质点的惯性力 说明在不计阻尼时，位移和惯性力同步说明在不计阻尼时，位移和惯性力同步. .
15、第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动第十五章 结构动力计算48 / 72考虑仅在考虑仅在1 1点作用激振力点作用激振力如果如果 吸振原理则有则有F01sin(t)k2m2ABk1m1第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动第十五章 结构动力计算49 / 72吸振原理表明吸振原理表明：为减少主体结构的振动，可适当地附加质为减少主体结构的振动，可适当地附加质 量弹簧子系统，只要合理设计就可以消除主量弹簧子系统，只要合理设计就可以消除主 体结构的振动。体结构的振动。该原理已被应用于工程的调频质量阻尼系该原理已被应用于工程的调频质量阻尼系 统和调频液体阻尼系统等结构控制技术中。统和调频液体阻尼系统等结构控制技术中。第七节 多自由度体系受迫振动1、简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动第十五章 结构动力计算50 / 721 1 正则坐标（广义坐标）正则坐标（广义坐标）问题：问题：在几何坐标系下，微分方程是耦联的，求解困难；在几何坐标系下，微分方程是耦联的，求解困难；方法：方法：通过变换，解耦方程组，简化计算。通过变换，解耦方程组，简化计
