研习学专题研究作品摘要

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1、- 59 -伍、研習學專題研究作品摘要一、或然率的應用(一)研習學生就讀學校：屏東女中(二)摘要： 1.目的： 針對 Pn（S）S1/n【1/（S1）1/S1/（S1） 1/（n1） 】 或 找出其他的式子可以表示。 2.說明： 人當每次遇到有許多的選項可以選擇時，總是讓人難以 下決定，不曉得哪個才是最好的，哪個才是應該選擇的。因 此，在看到這個問題時，我們都有志一同的想要進一步的探 討這個問題。 3.研究步驟： (1) 我們拿 4 個球為例，以 1、2、3、4 表球的大小（4 最大） 共有 24 種排列方法，每種出場順序的可能性是 1/24。 （2）最佳猜球法，如果只猜一次，n 代表球數，S

2、 表開始要 的球，Pn（S）表猜對的或然率，則可列出： Pn（S）S-1/n【1/（S-1）+ 1/S + 1/（S+1）+1/（n- 1） 】 。二、渡河遊戲(一)研習學生就讀學校：屏東女中(二)摘要： 1.遊戲規則： (1)原版遊戲 有 3 男 3 女在同一岸上，要坐船到對岸 船至少要有 1 人開船，一艘船最多坐兩個人 無論岸上或船上男生人數都不可以超過女生人數(2)推廣後的規則 將三男三女推廣到 X 男 X 女 (X N，X 4) 設定坐船至對岸的人數和回來的人數 若限制一次 x 人到對岸，則最後一次步驟也要 x 人到對 岸才算成功。- 60 -2.研究過程 3.結論： (1)渡河成功之

3、規則 當男生女生各有 X 人， 4 個人過去， 2 個人回來X 為任意數。 當男生女生各有 X 人， n 個人過去， (n-2)個人回來n 為偶數。 當男生女生各有 X 人， X 個人過去， (X/2)個人回來X 為偶數。 當男生女生各有 X 人， 6 個人過去， 2 個人回來X 為奇數。當男生女生各有 X 人， 10 個人過去， 6 個人回來X 為奇數。 當男生女生各有 X 人， 8 個人過去， 4 個人回來X 為偶數。當男生女生各有 X 人， 12 個人過去， 8 個人回來X 為偶數。 (2)步驟數之規則 男生(人)女生(人)過去(人)回來(人)步驟數 111172 121294 1313

4、116 1414138 151515107 男生(人)女生(人)過去(人)回來(人)步驟數 7752 8874 999674.未來展望 (1) 將渡河成功之規則簡化，並設法發現步驟數和數據的關係。(2) 設法發現最後一次步驟剩下人數和數據的關係。- 61 -(3) 將所發現的規則以一個函數來表示。三、渡河遊戲(一)研習學生就讀學校：台南女中(二)摘要： 1.研究動機 在偶然的機緣，老師介紹了一個有趣的網站，裡面有一 些好玩的遊戲，其中有一項是以前常常玩的過河問題，河的 兩岸有些動植物或是人，彼此有食物鏈的關係，唯一的目的 就是要使那些人在互不影響對方的情形下平安渡河。而此時 我們也很好奇，若是

5、人數變了，或是條件的改變，不知道會 有什麼結果，而在這些改變下又有什麼規律，可使每種情況 階能以很快的速度解決。 2.研究目的 我們希望將的一個問題岸上的動植物的數量變多，而他們 之間依然存在著食物鏈的關係，從 4 到 n 項，然後從中發現他 們之間的關係，並且導出一個通式。 其次，我們希望增加第二個問題中的傳教士與食人族的個 數，並且從中發現，當兩樣物件數目不等時所造成的結果，進 而導出一個關於這項結果的公式。 在解決以上兩個問題後，我們希望能夠綜合這兩個問題， 設計出一個食性和數目關係的問題，並改變其中的數目因子， 試著發現它們之間的關係。 3.研究問題 (1) 由研究動機及研究目的，我們

6、提出以下兩個研究問題，假 設兩區域 P、Q，其中 P5 中有 N 個物件，分別為 A1、A2、A3、An，且這些數皆存在著一種關係當 An與 An+1單獨在一起時，An會被消除(以此類推)，若 欲將 P 中的所有物件移到 Q，且一次只能移動一樣物件， 則最少需要幾次才能完成？ (2) 設兩區域 P、Q，其中 P 中有 m 個 X 與 n 個 Y，其中 n 不 小於 m 且當 X 的個數小於 Y 的個數時，X 將被 Y 消除(即 左 P 式 Q 的區域中，X 個數必須大或小於 Y 的個數)，若 一次只能移動兩樣物件，則最少需幾次才能把全部的物件 移動到 Q？- 62 -4.預計研究過程 先實際帶

7、入一個數字，得到答案後再觀察他們之間的關係， 接著從書中找尋可用的資料，最後整理出一個通式。 5.成果 希望導出一個適用的通式。四、從巴斯卡三角形到三項式展開式係數的平面表示法(一)研習學生就讀學校：潮州高中(二)摘要： 1.研究動機 老師在教授二項式展開式時，介紹了巴斯卡三角形，使 我們知道二項式任意次方展開的係數，均可由巴斯卡三角形 推得，這麼有趣且簡單的方法引發我們的好奇心，想知道另 外常用的三項式展開式的係數，是否也能如同巴斯卡三角形 一般，直接在平面圖示之，並且利用其規則迅速找出三項式 任意 n 次方展開式的係數？ 2.研究目的希望找出三項式展開式係數的平面圖示法，並找出此圖 示法與

8、巴斯卡三角形之關聯，以及其中所蘊含的原理與特性。3.結果由空間巴斯卡模型及二項式定理，我們可以找到兩種不同 的三項式係數的平面圖示方法，及其中隱含的空間巴斯卡定理： ，還有空間巴斯卡模型的三個性質：1 1.1. 1.1 . 1. n zyxn zyxn zyxn zyxDDDD任一點可由某兩列相加而得，n zyxD.即 。 xkxkzyk zykzyk zykn zyxDDD001. 1.1 1.任一點均可由第一面的相對位置推得，n zyxD.yn zxD . 0 .即 。yn zxn yn zyxDCD. 0 .任一列的和可由第一面的某一列的和推得，即 。 mkmkzyk yzkyz yzy

9、k zykDCD 00. 0 .五、埃及分數之固定項數分解問題- 63 -(一)研習學生就讀學校：屏東高中(二)摘要： 本文由”分數是否能表示成兩個相異的埃及分數之和”這個 問題出發，藉由整除的性質以及反證法，得到一個真分數可表 示成兩個相異埃及分數之和的定理檢驗法(定理 1)。有了這個 基礎，我們進一步推廣定理 1 的結果，作出了嶄新的結果(定理 2)，此定理可以用來檢驗真分數表示成三個相異埃及分數之和 的存在性；至於將真分數表示為 4 項、5 項、n 向相異埃 及分數之和的部份尚在嘗試，利用定理 1、2，我們寫了兩個 Matlab 軟體工具的電腦程式，使得我們可以檢驗任意真分數是 否可以表

10、示成兩項及三項的和，並可把所有的解列出來；最後 我們研究的是一個有關埃及分數的猜想()問題，即當分子為 4，且分母為 4k、4k+2、4k+3 時，猜想皆成立，對於分母為 4k+1 而言，當 k 為 3r+1、3r+2 猜想亦成立，k=3r 且 r 為奇數 時也是成立的，因此目前需解決的問題只剩分母為 24t+1 的情 況了，值得一提的情況是，我們用 Matlab 的程式檢驗出當分母 為 1014至 1014+2000 之內的正整數時，猜想都是成立的，這已 經超越了已知文獻的結果。六、費曼三角形的推廣(一)研習學生就讀學校：台南女中(二)摘要： 1.研究動機 在費曼的書中，提到費曼曾經研究過一

11、種特別的三角形 (即費曼三角形)，便對此類的三角形感到興趣，加上老師介 紹 GSP，於是提供逼個好的研究工具。 2.研究目的 我們除了希望研究一般形式的費曼三角形之外，有希望 探討一般四邊形的形式，並且推廣至 n 邊形，此外我們也將 原本比例 1：t 之條件，修改成三內角 1：t 之角分線，進而 討論幾何性質。七、看見水滴(一)研習學生就讀學校：屏東女中- 64 -(二)摘要： 觀察水滴的形成，希望能推導出小水流流出，形成水滴時 和落下距離的關係式，再經由實驗來驗證理論。另外，對於水 滴的形成，透過論文知道了這和表面張力、壓力等有關係。所 以，研究目的是要由這些已知道的理論延伸推導出一個關係式

12、， 可以計算出水流形成水滴時落下的距離。八、毛細現象(一)研習學生就讀學校：屏東高中(二)摘要： 1.目的： (1) 水在不同口徑中，r 與 h 的關係(、g、T)固定【 角視 為固定】 。 (2) 水在不同溫度時，溫度與 h 的關係溫度愈高，T 愈小 引申為 h 與 T 的關係。 2.NaCl(aq)不同密度與 h 的關係 3.其他化學水溶液(K2Cr2O7、MnCl2、4H2O、K3CrO2、KmnO4) 中，r 與 h 的關係(先測出密度)。 4.研究 角 (1)固定溫度、固定物質(水)、不同口徑與 角的關係。(2)不同溫度、固定物質(水)、同口徑與 角的關係。(3)固定溫度、不同化學水

13、溶液(固定密度)、同口徑與 角的 關係。 5.利用以上數據算出各溶液 T 的值。 6.問題： (1) 實驗流程不流暢，公式推導過程有瑕疵。 (2) 角的各種變因(溫度、張力、密度、接觸面資料)的關 係。九、璗鞦韆的奧妙(一)研習學生就讀學校：台南女中(二)摘要： 1.研究動機 某日無意間看見了公園裡的小孩子盪秋韆，他下降時站- 65 -立起來，上升時又蹲下去，於是盪秋韆越擺越高。物理課曾 經學過，依力學能守恆定律，在沒有其他外力的作用，有不 計熱量散失的情況下，單擺擺動的最高點會保持不變。但我 們在想，有沒有辦法在改變變因最少的情況下，讓單擺能做 出和小孩盪秋韆類似的運動。 2.研究目的 我們

14、製作出逼個器材，在沒有我們外力推動的作用下， 可以模擬出小孩盪秋韆的運動狀況，如果可行，我們想更進 一步討論出變因與結果之間的關係。 3.研究問題 在一個單擺中，擺錘的質量是否影響到它擺動的幅度？十、 高頻大橋如何有效地傳輸高頻訊息(一)研習學生就讀學校：台南女中(二)摘要： 1.研究動機 最近，代表電子計算機的電子技術之發展，對社會產生 很大的影響，出現所謂的高度資訊化社會，為了因應這種社 會需求，必需快速取得、快速處理、快速傳輸大量資訊，因 此，大容量且高速的計算機和光纖通信、衛星及無線通信、 各種廣播之類的大容量高速傳輸技術、寬頻資訊傳輸技術 等的開發，便成了當前的趨勢。而在這些技術中，

15、由於個人 行動通訊的需求在近年來快速地增加，使得高頻的無線通訊 系統更是踵點的領域。 於是，若不瞭解在高頻領域時元件的特性，在發展高頻 方面的技術時，就會遇到困難，雖然只高中生，我們不禁對 高頻領域產生了探索的欲望，這樣高速化的技術背後到底有 怎樣奇妙的原理呢？在無線訊號於空氣中傳播前，能負載會 傳輸高頻訊息的“大橋”需要具備何種條件？ 2.研究目的 日常生活中，我們常用的交流電頻段通常較低，如家用 交流電的 60Hz，然而，目前的個人通訊工業所使用的微波 頻段(約 1.8GHz)卻遠遠高於一般頻段，在這種高頻的情況下， 就不能再套平時設計好的集中常數電路(Iumped circuit)元件，

16、 因為電線與線圈間會產生微小的雜散(stray)電容、電感的組- 66 -合，以傳輸電訊；也就是改為分布常數電路(distributed circuit)。 而藉由改善分布常數電路幾何結構，我們希望能得到不 同元件在不同頻率需求的特性(如穿透力和頻率的關係圖)， 並且，在時間許可下，進一步朝向微波的被動元件(如傳輸 縣與濾波器)等應用面的問題探討，希望能獲得些許研究成 果，進而輔助現代通訊工業的發展。 3.研究問題 (1) 不同幾何結構(如長度、寬度、接地端與訊號端的間距) 的高頻元件在一定頻率下的穿透力大小分布？ (2) 幾何結構固定下，不同頻率與其元件特性的關係為何？ (3) 進一步研究，如何利用所得的研究成果研發出效率更好 的傳輸線與濾波器？十、乾電池之改良(一)研習學生就讀學校：屏東女中(二)摘要： 1.目的：延緩乾電池