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1、开始 10nS， Sp 是 输入 p 结束 输出n，S nSS3+=否 1nn 宁城县宁城高级中学高三年级统一考试（2015.10.20）数学试题（理科）数学试题（理科）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时长 120 分钟. 第卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1.设集合,集合为函数 的定义域，则（ ）(A)062xxxAB11xyBA(B) ( C) (D) 1,1,31,31,22. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是（ ）ziiz42z(A) (B) (C) (
2、D) 4 , 24, 2 2, 4 2 , 43若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其体积等于（A） （B） 32（C） （D） 2 364已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标22221(0,0)xyabab3yx为（2,0） ，则双曲线的方程为(A) (B) 22 126xy22 162xy(C) (D) 2 213yx 2 213xy5.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输p24出的的值分别为 , n S(A) (B) 4,30nS4,45nS(C) (D) 5,30nS5,45nS6已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N（0，32）
3、，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量 服从正态分布 N（，） ，则 P（-（I）求的单调区间；( )f x（II）若存在实数，使得，求的取值范围，并证明：1212,()x x xx12()()0f xf x=a.12xaex四、选做题（本小题满分 10 分.请考生 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按 所做的第一题记分）22选修选修 41：几何证明选讲：几何证明选讲 如图，的半径为 6，线段与相交于点、，与OABOCD=4ACBODA OB 相交于点.OE （）求长；BD（）当 时，求证：.CEODAOAD23选修选修 44：坐标系与参数方程
4、：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取xOyOxxOy相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线参数方程为（为参数） ，直线 的Ccos3sinxyl极坐标方程为.sin()26（）写出曲线的普通方程和直线 的直角坐标方程；Cl（）求曲线上的点到直线 的最大距离.Cl24选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲设函数 f xxa（）当时，解不等式；2a 41f xx（）若的解集为，求证： 1f x 0,2110,02a mnmn24mn宁城县高三年级统一考试（2015.10.20）数学试题（理科）参考答案一、选择题：一、选择题：DCAC CBDA CBD
5、C二、填空题：二、填空题：13、30；14、1；15、4；16、（等价形式也给分）.141134n三、17解：(1)由a2csinA 及正弦定理得，sinA2sinCsinA-2分33sinA0，sinC，32ABC 是锐角三角形，C .-6 分3(2)C ，ABC 面积为，33 32 absin ，即 ab6.-8 分1233 32c，7由余弦定理得 a2b22abcos 7，即 a2b2ab7.-10 分3由变形得(ab)23ab7.将代入得(ab)225，故 ab5.-12 分18 （）证明： 在中，ABC90 ,/,CDEBCADDE.1ADDE又.-4 分11,ADCD CDDEDA
6、DBCDE 面由1,.BCBCDEADBC面. 6 分1,BCCD CDBCCBCADC 面（）如图,以为原点，建立空间直角坐标系 7 分C 1(2,0,0),(2,2,0), (0,3,0),(2,0,4)DEBA设为平面的一个法向量，( , , )x y zn1ABC因为(0,3,0),CB 1(2,0,4)CA A1BCDExzy所以， 30 240y xz 令，得. 2x =0, =1yz所以为平面的一个法向量 10 分(2,0,1)n1ABC设与平面所成角为BE1ABC则44sin = cos555BE n所以与平面所成角的正弦值为 12 分BE1ABC4 519解：（I）这辆汽车是
7、 A 型车的概率约为3A 3A,B出租天数为天的型车辆数 出租天数为天的型车辆数总和300.63020 这辆汽车是 A 型车的概率为 0.6 3 分（II）设“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为 天” ，iAi“事件表示一辆型车在一周内出租天数恰好为天” ，其中jBj,1,2,3,.,7i j 则该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为132231132231()()()()P ABA BA BP ABP A BP A B5 分132231() ()() ()() ()P A P BP A P BP A P B520102030149 100 10010
8、0 100100 100125该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为8 分9 125 （）设为 A 型车出租的天数，则的分布列为XX X1234567 P0.050.100.300.350.150.030.02设为 B 型车出租的天数，则的分布列为YYY1234567Y.COM/ P0.140.200.200.160.150.100.05()1 0.052 0.103 0.304 0.355 0.156 0.037 0.02=3.62E X 10 分( )1 0.1420.203 0.2040.165 0.1560.1070.05E Y =3.48一辆 A
9、 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天，B 类车型一个星期出租天数的平 均值为 3.48 天，选择 A 类型的出租车更加合理 . 12 分20解：（）将代入，得2,2E22ypx1p 所以抛物线方程为，焦点坐标为 3 分22yx1( ,0)2（）设，2 1 1(,)2yAy2 2 2(,)2yBy(,),(,)MMNNM xyN xy设直线 方程为l2xmy与抛物线方程联立得到 ，消去，得：222xmyyx x2240ymy则由韦达定理得： 5 分12124,2y yyym 直线的方程为：，即，AE1 2 1222 22yyxy 12222yxy令，得 ，同理可得： 8 分2x
10、 1124 2Myyy2224 2Nyyy又 ，4( 2,),( 2,)m mOMyONy 12124(2)(2)44(2)(2)MNyyOM ONy yyy 11 分1212121242()442()4y yyy y yyy4( 444)4444m m 0所以，即为定值 12 分OMONMON 221解:（），则-1 分)0()(aexxfaxaxaexf1)(令，则-2 分01)(axaexfaax1ln1x)1ln1,(aaaa1ln1),1ln1(aa)(xf +0)(xfA极大值A故函数的增区间为；减区间为.-5 分)(xf)1ln1,(aa),1ln1(aa() 当时，当时，-6
11、分0x ( )00 ,axf xxeax ( )0,f x 若函数有两个零点，只需，即，-8 分)(xf011ln1)1ln1(aaaaafea1而此时，由此可得，01)1(eaaf211ln11xaaax故，即，-10 分aaaxx11ln112)1ln1 (121aaxx又0)(, 0)(21 2211axaxexxfexxf.12 分11212211( (1 ln)()ln()12axaaxaxa xxaeaa axxeeeeeaexe22证明（1）OC=OD，OCD=ODC，OCA=ODB，BOD=A，OBDAOC，ACOD OCBDOC=OD=6，AC=4，BD=95 分46 6BD
12、（2）证明：OC=OE，CEODCOD=BOD=A AOD=180AODC=180CODOCD=ADO AD=AO 10 分23解：解：由由得得sin()26，2 分分( 3sincos )4: l340xy由由得得.5 分分cos3sinxy:C2 213yx 在上任取一点，则点到直线 的距离为C(cos , 3sin )PPl. 7 分分|cos3sin4| 10cos()4| 22d-4 分其中其中，1cos103sin10当当1，.10 分分cos()=max1022d24解：（1）当时，不等式为，2a 214xx不等式的解集为； - 5 分17,22 （2）即，解得，而解集是， 1f x 1xa11axa 1f x 0,2，解得,所以1012aa 1a 1110,02mnmn所以- 10 分112(2 )42mnmnmn
