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1、- 1 -三角形三边关系的典型题例析三角形三边关系的典型题例析江苏 刘顿三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边.利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目.现举例说明.一、确定三角形某一边的取值范围问题一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为 a、b，则第三边 c 满足|ab|cab.例例 1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是 3m 和 7m，问第三条绳子的长有什么限制.简析 设第三条绳子的长为 xm，则 73x73，即 4x10.故第三条绳子的长应大于 4m 且
2、小于 10m.二、判定三条线段能否组成三角形问题二、判定三条线段能否组成三角形问题根据三角形的三边关系，只需判断最小的两边之和是否大于第三边即可.例例 2 （1） （2003 年福建三明市中考试题）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（ ）A.5cm、7cm、10cm B.7cm、10cm、13cmC.5cm、7cm、13cm D.5cm、10cm、13cm（2） （2004 年哈尔滨市中考试题）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A.1cm,2cm,4cm B.8cm,6cm,4cm C.12cm,5cm,6cm D.2cm,3cm,6cm 简析 由三角形的三边关系可知：
3、(1)5+713，故应选 C；(2)6+48，故应选 B.例例 3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）a3，a，3(其中 a3)；（2）a，a4，a6(其中 a0)；（3）a1，a1，2a(其中 a0).简析（1）因为(a3)3=a，所以以线段 a3，a，3 为边的三条线段不能组成三角形- 2 -（2）因为(a6)a =6，而 6 与 a4 的大小关系不能确定，所以以线段 a，a4，a6 为边的三条线段不一定能组成三角形.（3）因为(a1)(a1)=2a22，(a1)2a=3a1(a1)，所以以线段 a1，a1，2a 为边的三条线段一定能组成三角形.三、求三角形某一边的长度问题三、求三
4、角形某一边的长度问题此类问题往往有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是这里的定理及推论.例例 4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm 和 21cm 两部分，求这个三角形的腰长.简析 如图 1，设腰 AB=xcm，底 BC=ycm，D 为 AC 边的中点.根据题意，得 x+x12，且 y+x21；或 x+x21，且 y+x12.1 21 21 21 2解得 x8，y17；或 x14，y5.显然当 x=8，y=17 时，8817 不符合定理，应舍去.故此三角形的腰长是 14cm.例例 5 一个三角形的两边分别是 2
5、厘米和 9 厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为_.简析 设第三边长为 x 厘米，因为 9-2x9+2，即 7x11，而 x 是奇数，所以 x=9.故应填上 9 厘米.四、求三角形的周长问题四、求三角形的周长问题此类求三角形的周长问题和求三角形某一边的长度问题一样，也会设计陷阱，所以也应避免答案的错误.例例 6 6 已知等腰三角形的一边等于 5,另一边等于 6,则它的周长等于_.简析 已知等腰三角形的一边等于 5,另一边等于 6，并没有指明是腰还是底，A D P B C 图 2图 1DCBA- 3 -故应由三角形的三边关系进行分类讨论，当 5 是腰时，则底是 6，即周长等于 16；当 6 是
6、腰时，则底是 5，即周长等于 17.故这个等腰三角形的周长是 16 或 17.五、判断三角形的形状问题五、判断三角形的形状问题判断三角形的形状主要是根据条件寻找边之间的关系.例例 7 已知 a、b、c 是三角形的三边，且满足 a2+b2+c2abbcca=0.试判断三角形的形状.简析 因为 a2+b2+c2abbcca=0，则有 2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0.于是有（ab）2+（）2+（a）20.此时有非负数的性质知（ab）2=0；（）2=0；（a）20，即 ab=0；=0；a=0.故 a=b=c.所以此三角形是等边三角形.六、化简代数式问题六、化简代数式问题这里主要是运用两边
7、之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号.例例 8 已知三角形三边长为 a、b、c，且|abc|abc|=10，求 b 的值.简析 因 abc，故 abc0因 abc，故 abc0.所以|abc|abc|= abc(abc)=2b=10.故 b=5.七、确定组成三角形的个数问题七、确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重.例例 9 现有长度分别为 2cm、3cm、4cm、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4简析 由三角形的三边关系知：若以长度分别为 2cm、3cm、4cm，
8、则可以组成三角形；若以长度分别为 3cm、4cm、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为 2cm、4cm、5cm，则也可以组成三角形.即分别为 2cm、3cm、4cm、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为 3，故应选 C- 4 -例例 10 求各边长互不相等且都是整数、周长为 24 的三角形共有多少个？简析 设较大边长为 a，另两边长为 b、c.因为 abc，故 2aabc，a(abc).又 aabc，即 2abc.21所以 3aabc，a(abc).31所以，(abc)a(abc).24a24.31 21 31 21所
9、以 8a12.即 a 应为 9，10，11.由三角形三边关系定理和推论讨论知：, 7, 8, 9cba, 6, 8,10cba, 5, 9,10cba, 6, 7,11cba, 5, 8,11cba, 4, 9,11cba. 3,10,11cba由此知符合条件的三角形一共有 7 个.八、说明线段的不等问题八、说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接加以运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用.例例 11 已知 P 是ABC 内任意一点，试说明:ABBCCAPAPBPC(ABBCCA)的理由.21简析 如图 2，延长 BP 交 AC 于 D 点.在ABD 中，可证明 ABADBPPD.在PDC 中，可证明 PDDCPC.两式相加，可得 ABACBPPC，同理可得 ABBCPAPC，BCCAPAPB.把三式相加后除以 2，得 ABBCCAPAPBPC.在PAB 中，PAPBAB；在PBC 中，PBPCBC；在PAC 中，PAPCCA.上面三式相加后除以 2，得 PAPBPC(ABBCCA)，- 5 -综上所述：ABBCCAPAPBPC(ABBCCA).21
