信号与系统期末试卷及答案

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1、实验二 利用 DFT 分析离散信号频谱、实验目的应用离散傅里叶变换（DFT），分析离散信号的频谱。深刻理解 DFT 分析离散信号频谱的原理，掌握改善分析过程中产生的误差的方法。、实验原理根据信号傅里叶变换建立的时域与频域之间的对应关系，可以得到有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）与四种确定信号傅里叶 变换之间的关系（见教材），实现由 DFT 分析其频谱。、实验内容1. 利用 FFT 分析信号 的频谱；31,.0),83cos()(nnx（1）、确定 DFT 计算的参数；N=32;n=0:N-1;x=cos(3*pi/8*n);X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(n,a

2、bs(fftshift(X);ylabel(Magnitude);xlabel(Frequency (rad);title(朱艺星 杨婕婕); subplot(2,1,2);stem(n,angle(fftshift(X);ylabel(Phase);xlabel(Frequency(rad);、2、 进行理论值与计算值比较，讨论信号频谱分析过程中误差原因及改善方法。答：在频谱分析过程中由于取样频率过低或者由于信号的截取长度不当将会产生误差。取样频率过低,可能会产生混频现象,可以适当提高取样率，增加样点数，来减少混叠对频谱分析所造成的误差。对于连续周期信号，其时域取样必须满足时域取样定理：其取

3、样点数 K2*N+1（其中 N 为最高谐波分量），即kfo2Nfo+fo;fs2fm+fo。截取信号长度不当，会产生功率泄露，对周期序列进行频谱分析时， 为避免泄露应做到：截取的长度应取一个基本周期或基本周期的整数倍，若待分析的周期信号事先不知道其确切的周期，则可截取较长时间长度的样点进行分析，以减少功率泄露误差。当然，必须在取样频率 满足取样定理的条件下进行，否则 混叠与泄露同时存在 给频谱分析造成困难。本题 为周期信号，无直流分量，所以取样点数可为)83cos()(nx2*N=32,但必须保证都是独立的 样点。从取 样点数 N=32 和 N=16 可以看出，取样点数的不同，会造成频 率谱和

4、相位谱的不同。当 N=16 时，n=3 或-3 时有幅度值，而在 N=32 时，n=-10 和 22 时有幅度值，在 N=64 时，n=-20 和 44 时有幅度值，得到在 N=32 时，其频谱已经和 N=64 时一致（刚好成 2 倍关系），且 N=16 时已经产生混频现 象。综上得，本 题取样点数可为 32.附：对于非周期连续信号，时域取样定理：fs2fm.频域取样定理:一个时间受限的信号其长度为 2 在频域取 样间隔 Fo1/2 条件下, 能够从样点集合完全恢复原来信号的频谱。2. 利用 FFT 分析信号 的频谱；)(8.0)(nux、1、 确定 DFT 计算的参数；当 n 取 30 时n

5、=0:30;x=(0.8).n;subplot(2,1,1);stem(n,x);title(朱艺星 杨婕婕);subplot(2,1,2);w=n-15;plot(w,abs(fftshift(fft(x);附：当 n 取 60 时n=0:60;x=(0.8).n;subplot(2,1,1);stem(n,x);title(朱艺星 杨婕婕);subplot(2,1,2);w=n-15;plot(w,abs(fftshift(fft(x);、2、 进行理论值与计算值比较，讨论信号频谱分析过程中误差原因及改善方法。答：信号 为离散非周期信号，且为无限长的信号。根据理)(8.0)(nux论分析，

6、一个时间有限的信号其频谱宽度为无限，一个时间无限的信号其频带宽度则为有限，因此，对一个时间有限的信号， 应 用 DFT 进行分析，频谱混叠难以避免。对一个时间无限的信号虽然频带有限，但在时间运算中， 时间长度总是取有限值，所以频谱 泄露难以避免。当原始信号事有限长，截取的 长度等于原始信号的长度，则可以不考虑泄露的影响。当原始的非周期信号为无限长或比较长，而截取的长 度有限或不等于原始信号的长度，则需考虑频谱泄露引起的不良影响。为了减少泄露的影响，一般可适当增加长度 To，也可以通过试探法，先取长度 N1（To=N1*T），然后取 N2=2*N1,进行运算。若两者计算的结果很接近，则可取 N1

7、 作为截取长 度，否 则继续去 N3=2*N2,直至相邻两个长度的计算结果相近，取长度较小的 N 为好。本 题中，因为信号 为离散)(8.0)(nux非周期信号，且为无限长的信号，用试探法：取 n 为 30 和 60，进行比较，发现两者的频谱基本相似，所以取 n 为 30 较好。因 为 n 取过大， fs 提高，要求存贮单元增加，硬件速度提高，其结果势必在经济上和技术上带来新的问题。 3. 有限长脉冲序列 ，利用 FFT 分析其频谱。5,013,2)(nxN=6;n=0:N-1;x=2,3,3,1,0,5;subplot(3,1,1);stem(n,x);title(朱艺星 杨婕婕);subp

8、lot(3,1,2);w=n;plot(w,abs(fftshift(fft(x);subplot(3,1,3);plot(w,angle(fftshift(fft(x);4. （选做题）某离散序列 利用 FFT,630),153.2cos(7.0)152cos()( nnx分析其频谱。、1、 对 做 N=64 点 FFT，绘出信号的频谱，能够分辨出其中的两个频率吗？)(nx假设 x(n)是由 连续信号 以 fs=15Hz 进行取样得来)3.2cos(75.0)2cos() tttx的，则f=（2.3-2）/2=0.15Hz,根据公式：Nfs/ f 得 N 最小应该为 100.若取N=64，则

9、不能分辨其中的两个频率。N=64;n=0:N-1;x=cos(pi*2/15*n)+0.75*cos(2.3*pi/15*n);X=fft(x,N);subplot(2,1,1);stem(n,abs(fftshift(X);title(朱艺星 杨婕婕);ylabel(Magnitude);xlabel(Frequency (rad);subplot(2,1,2);stem(n,angle(fftshift(X);ylabel(Phase);xlabel(Frequency (rad)（2）对 补零到 N=256 点后计算 FFT，能够分辨出其中的两个频率吗？)(nx时域补零的结果 L 的数量

10、增加到 256，原本的 频域 N 为 64，因为 L 要小于等于 N，所以此时的 N 要 扩大为 256，致使 频域的样 点数也增加，所以此 时采取时域补零的方法能提高频率分辨力。但如果是在时域补零法得到的 L 的个数仍小于频域 样点数 N，则时域补零法并没有增加信息量，增加后但在频域的 N 并没有 变化，所以采取时域补零的方法不能提高频率分辨力，因 为分辨力主要取决于频域样点数 N 的变化。N=64;n=0:N-1;y=cos(pi*2/15*n)+0.75*cos(2.3*pi/15*n);x=y,zeros(1,256-64);M=256;X=fft(x,M);subplot(2,1,1

11、);stem(0:M-1,abs(fftshift(X);title(朱艺星 杨婕婕);ylabel(Magnitude);xlabel(Frequency (rad);subplot(2,1,2);stem(0:M-1,angle(fftshift(X);ylabel(Phase);xlabel(Frequency (rad);（3）若不能够很好地分辨出其中的两个频率，应采用哪些措施？答:可以提高取样频率，增加 频域的取样点数。当然，如果在 T 不变条件下，真正增加时域取样长度 L，使提供所载荷的信息量增加，功率泄露减少，也会在一定程度上改善频率分辨力，但 这不是通过补零使时域 长度延长的结

12、果，因为补零不增加信息量。、实验思考题1. 既然可直接由 DTFT 定义计算序列 DTFT，为何利用 DFT 分析序列的频谱？答：通过 DFT 可以求出确定性信号相应的离散频谱 或频谱的样值，变换到有限频谱序列， 这样就可以用 计算机实现对信号进行分析，数字化计算速度快，故提出了 DFT 来分析序列的频谱2. 若序列持续时间无限长，且无解析表达式，如何利用 DFT 分析其频谱？答：当原始的非周期信号为无限长或比较长，可截取一段时间内的序列值，长度为 L，作 N 点的 DFT 变换， N L。而截取的 长度有限或不等于原始信号的长度，则 需考虑频谱泄露引起的不良影响。为了减少泄露的影响，一般可适

13、当增加长度 To，也可以通过试 探法，先取 长度 L1（To=L1*T），然后取 L2=2*L1,进行运算。若两者计算的结果很接近，则可取 N1 作为截取长 度，否则继续去L3=2*L2,直至相邻两个长 度的计算结果相近，取 长度较小的 L 为好。再从 L 点有限长序列 x(n)相应的频谱 X()中，在主周期-, 内对 X()进行离散化，随即得到 N 个 频谱样点 用公式可表示 为2210()()()() 0,1.,kNLjknNnXkDFTxXekN 3. 序列补零和增加序列长度到可以提高频谱分辨率吗？两者有何本质区别？答：如果采取时域补零法得到的 L 的个数仍小于频 域样点数 N，则时域补零法并没有增加信息量，增加后但在频域的 N 并没有 变化，所以采取时域补零的方法不能提高频率分辨力，因 为分辨力主要取决于频域样 点数 N 的变化。但如果是补零后的时域序列个数增加到 L2，且 L2 个数大于频域样点数 N，因为要满足 N大于等于 L，则现在会使频 域样点数也随之增加，所以此 时采取时域补零的方法能提高频率分辨力。如果在 T 不变条件下，真正增加 时域取样长度 L，使提供所载荷的信息量增加，功率泄露减少，也会在一定程度上改善频率分辨力，但 这不是通过补零使时域长度延长的结果，因 为补 零不增加信息量。