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1、I目录中文摘要 关键词 .(II)1、 绪论.(1)2、预备知识.(1)2.1 二次型的相关定义 .(1)2.2 二次型的相关定理.(2)3、正定二次型和正定矩阵的判定方法.(7)3.1 定义法 .(7)3.2 正定二次型和正定矩阵等价判定 .(8)4、 正定矩阵常见的性质.(12)5、 正定二次型和正定矩阵的简单应用.(18)5.1 解题中的应用 .(18)5.2 极值问题中的应用 .(20)5.3 几何中的应用 .(23)5.4 统计中的应用 (25)6、 结论.(26)参考文献.(27)外文摘要 关键词.()II浅谈正定二次型的性质和应用数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导老师 蔡
2、炳苓作 者 李亚飞摘要 二次型这一章节形式上在高等代数中是独立的，但它与矩阵的性质、特征值、特征向量、Math lab 中矩阵的求解和线性变换等有很大的联系，并且它的求解计算等思想又丰富了矩阵的计算和解析几何中二次曲面等知识。二次型的讨论对象是二次函数，二次型在物理、统计、几何、极值等问题中有广泛的应用。其中正定二次型因其特殊的地位在许多应用和理论研究中有很大的实用价值，本文简单介绍了二次型的相关定义：如正定矩阵、特征值等；概括解题中的正定二次型和正定矩阵判定定理和等价条件：如正定矩阵顺序主子式大于零等；总结了一些性质、应用和证明；重点举例在解题中的若干定理和性质，进行了总结和推广并研究它的一
3、些简单的应用。关键词 正定二次型，正定矩阵，可逆矩阵，主子式，特征值11 绪论绪论在实二次型中正定二次型占有特殊的地位，正定二次型和它相互唯一决定的正定矩阵是我们探讨研究的重点，以下我们介绍二次型讨论的常用手法，指出正定二次型的地位，给出实用性较强的定理和经典例题，通过实例我们更好的了解正定二次型和正定矩阵的魅力。2 预备知识预备知识2.1 二次型的相关定义定义 1 设是一数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式PPnxxx,212 1211 112121122 22222( ,)222nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa xa x xa x称为数域上的一个元二次型，或者，
4、在不致引起混淆时简称二次型Pn定义 2 设，是两组文字，系数在数域中的一组关系式nxxx,21nyyy,21P nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111称为由到的一个线性替换（简称线性替换） nxxx,21nyyy,21如果系数行列式0212222111211nnnnnnccccccccc则称线性替换是非退化的定义 3 令 ， 0 即正定AB必要性：显然ABABB ABA 成立性质 6 合同不改变矩阵的正定性 （证明见正定二次型的定义法） 性质 7 时，正定0A A A证明 因为 所以是非退化的0A A14BA AA EA合同于单位
5、矩阵，所以正定BEA A性质 8 实对称矩阵正定，则正定，当时也可推出正定A2A0n nA证明 正定，因为，所以正定，有归纳法得正定AAA 2AA AnA性质 9 任个同阶实对称正定矩阵之和依然正定m证明 由性质 3 为同阶正定矩阵，则12,nA AA1212()nnAAAAAA有,0nXRX1212()0nnXAAA XX A XX A XX A X所以是正定阵12nAAA性质 10 任个同阶实对称正定矩阵若满足两两交换律则它们的积依然是正定阵n证明 性质 5 由题意知 ( ,1,2)ijjijiijA AA AA AA A i jn 由归纳法显然正定12nA AA性质 11 实对称矩阵正定
6、，且则,A BABBA()()()tr ABtrA trB证明 由题意知是正定的，因是正定矩阵，所以存在正交矩阵使ABAT121nTAT 其中是的特征根（特征根可相同） (1,2)iinA因为与可交换知，1T BT1TAT121tB BT BTB 其中为阶矩阵，由于是正定矩阵，与对角矩阵相似，所以(1,2)jBjnjnB也必与对角矩阵相似，即有满秩矩(1,2)jBjn15阵1(1,2)jjjjRjtR B R 使为对角矩阵，12=tRRPR 令时有1 11111 1 2211222112tttttnER B R ER B RP T BTPER B R =,TP令Q即1111111P TATPP
7、 T BTP P TABTP Q ABQ=111111 1221212()()()()()()()nnnntr ABtr Q ABQtr P TATPP T BTPtrA trB ()()()tr ABtrA trB推论 1 设,()()nnA BnAB BAtr ABtr AB为阶正定矩阵且=，则有证明 为正定矩阵，设的特征值为，其中ABAB12,n 0(1,2)iin且存在正交矩阵T使121nTABT 则16 111111()()()()()nnnnnn nn ii iinnTABTTAB Ttr ABtr TAB Ttr TABTtr AB（）（）推论 2 ,()nnnA BnAB BA
8、ntr ABtrAtrB为阶正定矩阵且=，对任意正整数，有（）()证明 ()()( ) ( )() ()nnnnntr ABtrABtr A tr BtrAtrB性质 12 设为 n 阶正定矩阵，则，其中为的主对A1122nnAa aa(1,2)iia inA角元素。 证明 设 其中为的 n-1 阶顺序主子式，1nnAAa 1AA121,(,)nnnnaaa 因为A正定，所以正定，存在，于是1A1 1A1 11111 11 1100 0101nnnnnnAAEEA aaAA 两边取行列式1 11()nnAAaA因为正定 所以正定，1A1 1A1 10A10A 1nnAA a同理 121,1nn
9、AA a其中为的 n-2 级顺序主子式，2AA所以1,21,1112233n nnnnnnnAA aA aaa a aa性质 13 设是实矩阵，且的元素全满足ijak（常数），An nAija( ,1,2)i jn则2n nAk n证明 为半正定矩阵，且 ,n n ijAaRA A因为所以17222 11121 222 21222222 12nnnnnnaaa aaaA Aaaa 由引理 2222222222 1112121222122222()()()nnnnnnnnAaaaaaaaaanknknkn k得 2n nAk n（这是不等式） Hadamard性质 14 正定矩阵之绝对值最大的元
10、素必在主对角线上。A证明 因为正定，从而的一切 2 阶主子式均大于零，AA当时ij20iiij iijjij ijjjaaa aaaa(, ,1,2)ijiijjaa aij i jn设的主对角线上最大元素为（因为正定，） ，则AkkaA0kka2()( ,1,2)ijiijjkkkkijkkaa aaaijaai jn所以中绝对值最大元素必在主对角线上A我们推出，假设中绝对值最大元素为这便为矩阵的行A2,1,2,nn kkkkaknAan列式值划定了一个范围，但应注意是正定矩阵例 4 设是维欧式空间的个单位向量，即12,n nn121(1,2),(,)iina ain Aa aa 表示矩阵，
11、求证的行列式的绝对值n nA1A 证明 由于半正定，且A A111212122212nnnnnnA A 2 1122331nnAA A 1A由上也可推出正定矩阵对角线上的元素都大于零185 正定二次型和正定矩阵的简单应用正定二次型和正定矩阵的简单应用5.1 解题中的应用引理 任何可逆实方阵都可以分解为正交阵和上三角阵的乘积，其中的主对QRR角元均为正定理 1 实对称矩阵为正定阵的充要条件是存在上三角阵A11121222nnnnttt ttTt 其中 ，使0iit 1,2,3i AT T 证明 必要性：由定理正定矩阵合同于单位阵，即存在可逆阵使AEP，是实可逆阵，由引理知存在实正交阵和可逆上三角阵使AP EPP PPQR,这样 知上三角阵中主对角线上元素都大于零，所以 PQRAP PR Q QRR R R为所求。TR充分性：如果，欲证对任何非零维列向量AT T n1,2(,)nXx xxR有令， 因为是可逆矩阵，由可得0X AXYTXT0X 1,2(,)0nYy yy 于是222 120nX AXX T TXYYyyy 例 5 但若形式为的二次型我们怎样判断它的正定性？211niij iij nfxx x 证明 此二次型对应的矩阵为，则A11122 1112211122n nAR 设的各阶顺序主子式为，则A(1,2)k
