泰山学院数学与系统科学系教案

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1、泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-1 群的定义和初步性质课 时本节课时本章课时 328教学目的理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，熟练掌握群的基 本性质。重点 难点重点：群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法，群的性质。 难点：群的判定，群的性质。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点， 用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、基本概念定义定义 1 设是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足以下条件：G1） 结合律成立，即对中任意元素都有G, ,a b c；()(

2、)a bcab c2） 中有元素，叫做的左单位元，它对中每个元素都有GeGGa；e aa3） 对中每个元素，在中都有元素，叫做的左逆元，使GaG1aa；1aae则称对代数运算 作成一个群。G如果对群的任二元素均有，则称为交换群或 Abel 群。G, a ba bb aG否则称为非交换群或非 Abel 群。G常见群的几个例子： 非零有理数乘群：全体非零有理数关于数的普通乘法作成的群。 正有理数乘群：全体正有理数关于数的普通乘法作成的群。 数域 F 上的一般线性群：数域 F 上全体阶满秩方阵关于矩阵的( )nGL Fn乘法作成的群。 次单位根群：全体次单位根对于数的普通乘法作成的群。nnUn群的阶

3、群的阶：设是一个群，那么集合中含元素的个数称为群的阶.简( , )G GG记为。G如果+，称为有限群有限群，否则当+时，称为无限群无限群.譬如： nGGGG是无限群，而是有限群.( , )Z (, )nU 二、群的性质定理定理 1 群的元素的左逆元也是的一个右逆元，即有Ga1aa。11a aaae定理定理 2 群的左单位元也是的一个右单位元，即对群中任意元素GeGG 均有。aeaaea定理定理 3 群的单位元及每个元素的逆元都是唯一的。G 推论推论 1 在群中消去律成立，即备 注，abacbc 。bacabc三、群的等价定义及其判别定义定义 2 设是一个非空集合，如果它有一个代数运算满足结合律

4、，则称S是一个半群。S如果半群中有单位元（既是左单位元又是右单位元） ，则称为有单位元的SS半群，或简称为幺半群幺半群。定理定理 4 设是一个半群，则作成群的充分必要条件是：GG1）有右单位元：即对中任意元素都有；GeGaaea2）中每个元素都有右逆元：。Ga1a1aae定理定理 5 设是一个半群，则作成群的充要条件是：对中任意元素，GGG, a b方程，在中都有解。axbyabG推论推论 2 有限半群作成群的充分必要条件是：在中两个消去律成立。GG作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-2 群中元素的阶课 时本节课时本章课时 328教学目的理解并掌

5、握元素阶的定义，熟悉元素阶的性质并会熟练掌握及应用。重点 难点重点：元素阶的定义与性质。 难点：元素阶的性质。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点， 用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、元素阶的定义定义定义 1 设是群的一个元素，使的最小正整数，叫做元素的阶。aGnaena记作。|a例例 1 加法群中，是单位元，5(, )0,1,2,3,4Z 0，01, 15。25, 35, 45例例 2 加法群中，0 是单位元，而其它元素，。( , )Z 01aa 例例 3 乘法群中，1 是单位元，而其它元素的阶都是*(, )R 11,12无限。定

6、理定理 1 有限群中每个元素的阶均有限。例例 4定义定义 2 若群中每个元素的阶都有限，则称为周期群；若中除外，其GGGe余元素的阶均无限，则称为无扭群；既不是周期群又不是无扭群的群称为混合G群。二、元素阶的性质定理定理 2 设群中元素的阶是，则。Gan|maen m定理定理 3 若群中元素的阶是，则，其中为任意整数。Gan|( , )knak nk推论推论 1 在群中设，则，其中是正整数|ast|sat, s t推论推论 2 在群中设，则。|an|( , )1kank n定理定理 4 若群中元素的阶是，的阶是，则当且时，ambnabba( , )1m n 。|abmn定理定理 5 设为交换群

7、，且中所有元素有最大阶，则中每个元素的阶GGmG都是的因数，从而群中每个元素均满足方程。mGmxe注注： 定理 4 中条件“”必不可少。abba 定理 5 中条件“为交换群”是必要的。G备 注作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-3 子群课 时本节课时本章课时 428教学目的理解并掌握子群的概念，理解子群的充要条件及判定方法和构造群的子群的方法。重点 难点重点：子群的概念，群的子集构成子群的充分必要条件以及判定方法。 难点：群的子集构成子群的充分必要条件以及判定方法。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点， 用分析证明、分类举例的方法突破

8、难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、子群的定义和性质定义定义 1 设是一个群，而，如果关于中的乘法本身也GHGH,HG能作成群，则称是的一个子群，记为。HGHG群至少有两个子群、，这两个子群称为群的平凡子群平凡子群。如果除GeGGG了平凡子群外还有其他子群，那就称为的真子群真子群，记为。GGH 例例 1 设是整数加群，而一切偶数构成的集合为，其中：ZZ2，, 4 , 2 , 0 , 2, 4,2Z那么关于整数的加法有。ZZ 2事实上，任取一个整数，那么为一切的倍数构成m|ZnnmmZm的集合，可知。ZmZ 例例 2 数域 F 上全体阶满秩对角阵的集合是的一个子群；F 上一n1

9、G( )nGL F切纯量矩阵的集合又是的一个子群，当然也是的一个子群。aE2G1G( )nGL F定理定理 1 设是群，。则子群的单位元就是群的单位元，中GGH HGH元素在中的逆元就是在中的逆元。aHaG二、子群的判定定理定理 2 群的一个非空子集作成子群的充分必要条件是：GH1）； 2）。, a bHabH1aHaH备 注定理定理 3 群的非空子集作成子群的充分必要条件是GH。1, a bHabH注注：群的有限子集作成子群的充分必要条件是：对的乘法封闭。GHHG 例例 3 令为数域 F 上行列式等于 1 的全体阶方阵作成的集合，则关于矩GG阵的乘法作成群，记作，称为特殊线性群。显然。( )

10、nSL F( )( )nnSL FGL F定义定义 2 令是一个群，中元素如果同中每个元素都可换，则称是GGaGa 群的一个中心元素。G 注注： 群的单位元总是群的中心元素。若群的中心元素只有时，GeGGe 称为无中心群。G 交换群的每个元素都是中心元素。定理定理 4 群的全体中心元素作成的集合是的一个子群，称为群G( )C GG的中心。G注注：是交换群。G( )C GG三、子群的乘积定义定义 3 设是群的任二非空子集，规定,A BG，|,ABab aA bB11|AaaA并分别称为与的乘积，为的逆。ABAB1AA 推论推论 1 群的非空子集作成子群的充分必要条件是且GHHHH。1HH推论推论

11、 2 群的非空子集作成子群的充分必要条件是。GH1HHH定理定理 5 设是群的两个子群，则。,H KGHKGHKKH作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-4 循环群课 时本节课时本章课时 328教学目的理解并掌握循环群的概念及性质，熟悉循环群的生成元、子群以及分类。重点 难点重点：循环群的概念、性质、生成元、子群及分类。 难点：循环群的生成元、子群及分类。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点， 用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注一、基本概念设是群的任意一个非空子集，用表示中包含的一切子群的M

12、GMGM交，则是群中包含的最小子群。MGM定义定义 1 称为群中由子集生成的子群，并把叫做这个子群的MGMM生成系。注注：。12 12|,1,2,nkkk niiMa aaaM kZ n定义定义 2 如果群可以由一个元素生成，即，则称为由生成GaGaGa的一个循环群，并称为的一个生成元。aG注注：；循环群必是交换群。|naanZ例 1、例 2二、循环群的分类及其性质定理定理 1 设群，则Ga1）当时，由可得，即是的|a ststaa2112, ,aae a aa全体互异的元素；2）当时，是阶群且。|anan21 , ,nae a aa推论推论 1 阶群是循环群有阶元素。nGGn注注：判别一个元

13、素是不是生成元，就看这个元素的阶是否等于。n定理定理 2 无限循环群有两个生成元，即与；阶循环群有个aa1an( )n生成元，其中为欧拉函数。( )n定理定理 3 设是任意一个循环群。1）若，则与整数加群同构；|a aZ2）若，则与次单位根群同构。|anannU三、循环群的子群定理定理 4 循环群的子群仍为循环群。定理定理 5 无限循环群有无限多个子群；当为阶循环群时，对的每个ann正因数，有且只有一个阶子群，这个子群就是。kakn ka备 注设是大于 1 的整数，且为的标准分解式。易知共有n12 12mkkk mnp ppnn12( )(1)(1)(1)mT nkkk个正因数，这里是的正因数

14、的个数。( )T nn推论推论 2 阶循环群有且只有个子群。n( )T n作 业教学后记泰山学院数学与系统科学系教案教研室： 教师姓名： 年 月 日课 题2-5 变换群课 时本节课时本章课时 328教学目的掌握变换群的概念，理解 Cayley 定理。重点 难点重点：变换的乘法，Cayley 定理。 难点：Cayley 定理。教学方法课堂讲授法为主；用精讲多练的方法突出重点， 用分析证明、分类举例的方法突破难点。课 型新授课教 学 过 程 与 内 容备 注定义定义 1 设是一个非空集合，则由的若干个变换关于变换的乘法所作成MM的群，称为的一个变换群；由的若干个双射变换关于变换的乘法作成的群，MM称为的一个双射变换群；由的若干个非双射变换关于变换的乘法作成的群，MM称为的一个非双射变换群。M例 1 定理定理 1 设为任一非空集合，为由的全体双射变换作成的集合，M()S MM则关于变换的乘法作成一个群。()S M定义定义 2 称集合的双射变换群为上的对称群。当时，其M()S MM|Mn上的对称群用表示，并称为次对称群。nSn注注：上的对称群是的最大的双射变换群。M次对称群是一个阶为的有限群。nnS!n定理定理 2 设是非空集合的一个变换群，则是的一个双射变换群的GMGM充分必要条件是，在中含有的单（满）射变换。GM推论推论 1