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1、概率论与数理统计作业簿（第三册）学 院 _专 业 _班 级 _ 学 号 _姓 名 _任课教师_第七次作业一填空题：1.的分布列为: 1234P1 102 51 53 10则 2.7 。E2. 的分布列为: -101 212P1 31 61 61 121 4则， ， 。E1 3(1) E2 32E35 24二填空题：1. 若对任意的随机变量，存在，则等于 （ C ） 。E( ()E E E(A)0 (B) (C) (D) E2()E2. 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元，2 张为 5 元，某人从中随机地无放回 地抽取 3 张，则此人所得奖金的数学期望为 （ C ） (A) 6.5 （B
2、）12 （C）7.8 （D）9三计算题1. 设随机变量的概率密度为X2 1101( )1 0xxp x ，其他其中1，求 EX 。解解 。2111111 0011111 011 EXxxdxxdxx 2.设随机变量的概率密度函数,0(=0,0xexp xx其求和。2,(23),()EEEe(max ,2)E解解 ； 01xExe dx；(23)235EE；22204()()13xxEeEE eee dx 0(max ,2)max ,2 ( )max ,2xExp x dxxe dx。222220222(1)22xxe dxxe dxeeee3.一台机器由三大部件组成，在运转中各部件需要调整的概
3、率分别为 0.1，0.2和 0.3。假设各部件的状态相互独立，用表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望。解解 设 Ai =第 i 个部件需要调整 （i=1,2,3） ，则 P(A1)=0.1，P(A2)= 0.2，P(A3) =0.3 。所以，123(0)()0.9 0.8 0.70.504PP A A A123123123(1)()()()0.389,PP A A AP A A AP A A A123123123(2)()()()0.092,PP A A AP A A AP A A A123(3)()0.006.PP A A A从而。0 0.504 1 0.3892 0.0933 0.00
4、60.6E 4.设球的直径均匀分布在区间a , b内，求球的体积的平均值。解解 设球的直径长为,且,球的体积为,与直径的关系为,那么, , U a b34 32。3322 34()() 326624baxab abEEEdxba5.6个元件装在 3 台仪器上，每台仪器装两个，元件的可靠性为 0.5。如果一台仪器中 至少有一个元件正常工作，不需要更换，若两个元件都不工作，则要更换，每台仪 器最多更换一次，记 X 为 3 台仪器需要更换元件的总次数，求 EX 解解 随机变量 X 的取值：k=0,1,2,3 ，每台仪器需要更换元件的概率: ，则0.5 0.50.25p 3()(1),0,1,2,3k
5、kk nP XkC ppkX0123P27/6427/649/641/64故 。 （或）27279130123646464644EX 0.75EXnp6. 设是非负连续随机变量且存在，对任意试证E0()1EP 证证 设的密度函数是，由得( )p x0，()( )( )xPp x x dx 1( )xp x dx 01( )Exp x dx 所以 。()1EP 7. * 某种产品上的缺陷数服从分布律11(),0,1,2,2kPkkL求此种产品上的平均缺陷数。 （* 高等数学 8 学分的学生可以不做）解解 ，111 0111111 2242kkk kkkEkkk 令 ， 则1 2x ， 1 2 1
6、111111(1)kkkkkkk xxxxx 所以 。1E第八次作业一.填空题 1. 设随机变量的分布律为 -101Pa1 2b已知，则a= 1/4 ，b 1/4 。0.5D二.选择题1. 设 X 是一随机变量，, (, 0 为常数)，则对任意常2(),()E XD X数 C，必有 （ D ）A E(X-C)2 = E(X2) - C2 B. E(X-C)2 = E(X- )2 C. E(X-C)2 E(X- )2 D. E(X-C)2E(X- )2三.计算题1.对第七次作业第一大题第 2 小题的，求和。D(1 3 )D解解 ，。2 2235197()()24372DEE97(1 3 )98D
7、D2. 对第七次作业第三大题第 3 小题中的，求。D解解 222()()0 0.504 1 0.3894 0.0939 0.0060.60.46.DEE 3.设随机变量具有概率密度, 计算 。01 ( )2120xx p xxx 其其D解解 ，123312201 01( )( )(2)()133xxExp x dxx xdxxx dxx，1243412222201 0127()( )(2)()4346xxxEx p x dxxxdxxx dx。221( )() ( )6DEE4. 设随机变量仅在a , b取值，试证。2 ,2baaEbD证证 因为, 所以.abaEb又因为22222ababab
8、abbaab，。22baab222abbaDE5.已知某种股票的价格是随机变量，其平均值是 1 元，标准差是 0.1 元。求常数 a，使得股价超过 1+a 元或低于 1-a 元的概率小于 10%。(提示: 应 用切比雪夫不等式)。解解 已知 ，1,0.1ED由契比雪夫不等式 ，20.01|1|Paa令 ， 得 。20.010.1a0.32a 6.设随机变量的概率分布为1()(1),1,0,12x xaPxax 其中 0a1。试求：，。D|D解解 ( 1)0 (1) 10,22aaEa 2222( 1)0(1) 1,22aaEaa 所以 。22()DEEa又 ， 故 。22,EaEEa22()(
9、1)DEEaa7.设随机变量.( 1,1)R:(1) 试求;(| 0.6)P(2) 试用切比雪夫不等式给出的上界.(| 0.6)P解解 （1）=0.4(| 0.6)P（2） 因为，所以10,3ED。(| 0.6)P21100(| 0.6)3 0.6108PE8.证明：事件在一次试验中发生次数的方差一定不超过。1 4证证 设事件 A 在一次试验中发生的概率为p ，又设随机变量则 。21(1)24pqDpppq第九次作业一 填空题 1.设X服从泊松分布，若26EX，则(1)P X 。21 3e解 222( ), 6()XPEXDXEX 故 2.(1)1(1)1(0)(1)P XP XP XP X
10、222121 3eee .2.设随机变量，已知，则参数n= 6 ( , )B n p2.4,1.44ED，p = 0.4 。解 2.4,6,1.44,0.4.EnpnDnpqp3. 某保险公司的某人寿保险险种有 1000 人投保，每个人在一年内死亡的概 率为 0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年 内这 1000 个投保人死亡人数不超过 10 人的概率。用 Excel 的 BINOMDIST 函数计算。BINOMDIST（10 , 1000, 0.005, TRUE）= 0.986531_。4. 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为 4 的泊松分布，用 Exc
11、el 的 POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于 10 的概率。 POISSON（10 , 4 ，TRUE）=0.9972, 所求概率 p=_0.0028_。5. ，由切比雪夫不等式有_8/9_。(4)P(|4| 6)P二 选择题1.在相同条件下独立的进行 3 次射击，每次射击击中目标的概率为，则至2 3 少击中一次的概率为 （ D ）A. B. C. D. 274 2712 2719 2726三计算题1.设随机变量的密度函数是1cos,0( )22 0,xxp x 其其对独立的随机观察 4 次，表示观察值大于的次数，求3（1）的概率分布（分布律） ，（2）。ED其解解 。4,Bp（1）
12、设 A=“观察值大于” ，则 ,3311( )()cos3222xpP APdx所以的概率分布为：。4411()(1),(0,1,2,3,4)22k kPkkk 或 01234P1 164 166 164 161 16（2） 11142,41222ED2.随机变量服从参数为 p 的几何分布，即 1()(1),1,2,kPkppkL（1） 求 ，其中 s 是一个非负整数；()Ps（2） 试证，其中 s，t 是非负整数。 （几何分布具有(|)()PstsPt无记忆性） 。解解 （1）111()()(1)kk sk sPsPkpp 01(1)(1)(1)(1)sksskppppppp或者：11()1()1(1)s kkPsPspp 1 (1)1(1)1 (1)s spppp （2） ()()(|)()()PstsPstPstsPsPsI。(1)(1)()(1)s t t sppPtp3.设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP，求。(3)P X 解解：eXPeeXPXPXP2)2
