《2017年北京高三上学期开学数学试卷（理科）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年北京高三上学期开学数学试卷（理科）（解析版）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016-2017 学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1复数 z=在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A=1，2，3，B=1，m，AB=B，则实数 m 的值为（ ） A2B3C1 或 2 或 3D2 或 33如果 sin（A）=，那么 cos（A）=（ ）ABCD4设 x，yR，向量 =（1，x） ， =（3，2x） ，若 ，则实数 x 的取值为（ ）A1B3C1 或3D3 或15函数 y
2、=log2的大致图象是（ ）ABCD6设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=3xy 的取值范围是（ ）ABC1，6D7如图，半径为 2 的O 中，AOB=120，C 为 OB 的中点，AC 的延长线交O 于点 D，连接 BD，则 弦 BD 的长为（ ）ABCD8若函数 f（x）=x2lnx 在其定义域的一个子区间（k1，k+1）上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是（ ） A （1，2） B1，2）C0，2）D （0，2）二、填空题二、填空题9抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2，则 a= 10极坐标系中，直线 sin（）+1=0 与极轴所在直线的交点的极坐标为 （只需写出一个即
3、可）11点 P 是直线 l：xy+4=0 上一动点，PA 与 PB 是圆 C：（x1）2+（y1）2=4 的两条切线，则四边形PACB 的最小面积为 12已知双曲线 C 的渐进线方程为 y=x，则双曲线 C 的离心率为 13集合 U=1，2，3的所有子集共有 个，从中任意选出 2 个不同的子集 A 和 B，若 AB 且 BA， 则不同的选法共有 种14已知数列an是各项均为正整数的等差数列，公差 dN*，且an中任意两项之和也是该数列中的一 项（1）若 a1=4，则 d 的取值集合为 ； （2）若 a1=2m（mN*） ，则 d 的所有可能取值的和为 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满
4、分小题，满分 80 分）分）15已知函数 f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x （）求函数 f（x）的单调递增区间；（）若 x0，求函数 f（x）的最值及相应 x 的取值16已知递减等差数列an满足：a1=2，a2a3=40 （）求数列an的通项公式及前 n 项和 Sn； （）若递减等比数列bn满足：b2=a2，b4=a4，求数列bn的通项公式17某公司每月最多生产 100 台警报系统装置，生产 x 台（xN*）的总收入为 30x0.2x2（单位：万元）每月投入的固定成本（包括机械检修、工人工资等）为 40 万元，此外，每生产一台还需材料成本 5 万 元在经济学中，常常利用每
5、月利润函数 P（x）的边际利润函数 MP（x）来研究何时获得最大利润，其中 MP（x）=P（x+1）P（x） （）求利润函数 P（x）及其边际利润函数 MP（x） ； （）利用边际利润函数 MP（x）研究，该公司每月生产多少台警报系统装置，可获得最大利润？最大利 润是多少？18已知函数 f（x）=axex，其中常数 a0，e 为自然对数的底数 （）求函数 f（x）的单调区间； （）当 a=1 时，求函数 f（x）的极值；（）若直线 y=e（x）是曲线 y=f（x）的切线，求实数 a 的值19已知椭圆 C： +=1（ab0） ，离心率 e=，已知点 P（0，）到椭圆 C 的右焦点 F 的距离是设
6、经过点 P 且斜率存在的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，线段 AB 的中垂线与 x 轴相交于一点 Q （）求椭圆 C 的标准方程；（）求点 Q 的横坐标 x0的取值范围20对于序列 A0：a0，a1，a2，an（nN*） ，实施变换 T 得序列 A1：a1+a2，a2+a3，an1+an，记作A1=T（A0）：对 A1继续实施变换 T 得序列 A2=T（A1）=T（T（A0） ） ，记作 A2=T2（A0） ；An1=Tn1（A0） 最后得到的序列 An1只有一个数，记作 S（A0） （）若序列 A0为 1，2，3，求 S（A0） ； （）若序列 A0为 1，2，n，求 S（A0） ；
7、（）若序列 A 和 B 完全一样，则称序列 A 与 B 相等，记作 A=B，若序列 B 为序列 A0：1，2，n 的 一个排列，请问：B=A0是 S（B）=S（A0）的什么条件？请说明理由2016-2017 学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）学年北京人大附中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1复数 z=在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分
8、母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实 数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置【解答】解：z=+i，复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限 故选 A2已知集合 A=1，2，3，B=1，m，AB=B，则实数 m 的值为（ ） A2B3C1 或 2 或 3D2 或 3 【考点】交集及其运算 【分析】根据 A，B，以及两集合的交集为 B，得到 B 为 A 的子集，确定出实数 m 的值即可 【解答】解：A=1，2，3，B=1，m，且 AB=B，BA， 则实数 m 的值为 2 或 3， 故选：D3如果 sin（A）=，那么 cos（A）=（ ）ABCD【考
9、点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系 【分析】直接利用诱导公式化简求解函数值即可【解答】解：sin（A）=，可得 sinA=，cos（A）=sinA=，故选：B4设 x，yR，向量 =（1，x） ， =（3，2x） ，若 ，则实数 x 的取值为（ ）A1B3C1 或3D3 或1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由 ，可得=0，解出即可得出【解答】解： ，=3+x（2x）=0，化为 x22x3=0，解得 x=3 或1故选：D5函数 y=log2的大致图象是（ ）ABCD【考点】函数的图象 【分析】分析出函数的定义域和单调性，利用排除法，可得答案【解答】解：函数 y=l
10、og2的定义域为（1，+） ，故排除 C，D； 函数 y=log2为增函数，故排除 B，故选：A6设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=3xy 的取值范围是（ ）ABC1，6D【考点】简单线性规划 【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中 z 的几何意义可求 z 的 最大值与最小值，进而可求 z 的范围 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由 z=3xy 可得 y=3xz，则z 为直线 y=3xz 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线 y=3xz 平移到 B 时，z 最小，平移到 C 时 z 最大由可得 B（，3） ，由
11、可得 C（2，0） ，zmax=6 故选 A7如图，半径为 2 的O 中，AOB=120，C 为 OB 的中点，AC 的延长线交O 于点 D，连接 BD，则 弦 BD 的长为（ ）ABCD 【考点】与圆有关的比例线段 【分析】在OAC 中，运用余弦定理可得 AC，cosACO，延长 CO 交圆于 E，再由圆的相交弦定理，可 得 ACCD=BCCE，求得 CD，再在BCD 中，运用余弦定理可得 BD 的长 【解答】解：在OAC 中，OA=2，OC=1，AOC=120，可得 AC2=OA2+OC22OAOCcosAOC=4+1221cos120=5+2=7，即 AC=，cosACO=，延长 CO
12、交圆于 E， 由圆的相交弦定理，可得 ACCD=BCCE，即 CD=，在BCD 中，BD2=BC2+DC22BCDCcosBCD=1+21=可得 BD= 故选：C8若函数 f（x）=x2lnx 在其定义域的一个子区间（k1，k+1）上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是（ ） A （1，2） B1，2）C0，2）D （0，2） 【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论 【解答】解：函数的定义域为（0，+） ，函数的 f（x）=x=，由 f（x）0 解得 x1，此时函数单调递增， 由 f（x）0 解得 0x1，此时函数单调递减， 故
13、 x=1 时，函数取得极小值当 k=1 时， （k1，k+1）为（0，2） ，函数在（0，1）上单调减，在（1，2）上单调增，此时函数在（0，2）上不是单调函数，满足题意；当 k1 时，函数 f（x）在其定义域的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，x=1 在（k1，k+1）内，即，即，即 0k2，此时 1k2， 综上 1k2， 故选：B二、填空题二、填空题9抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2，则 a= 8 【考点】抛物线的简单性质【分析】依题意可求得抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=，而抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2，从而可求a【解答】解：抛物线 x2=ay 的准线方
14、程是 y=，又抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2，=2，a=8故答案为：810极坐标系中，直线 sin（）+1=0 与极轴所在直线的交点的极坐标为 （2，） （只需写出一个即可） 【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】令 =，可得： +1=0，解得 即可得出【解答】解：令 =，可得： +1=0，解得 =2，可得交点（2，） 故答案为：（2，） 11点 P 是直线 l：xy+4=0 上一动点，PA 与 PB 是圆 C：（x1）2+（y1）2=4 的两条切线，则四边形PACB 的最小面积为 4 【考点】圆的切线方程【分析】利用切线与圆心的连线垂直，可得 SPACB=2SACP ，要求四边形 P
15、ACB 的最小面积，即直线上的 动点到圆心的距离最短，利用二次函数的配方求解最小值，得到三角形的边长最小值，可以求四边形 PACB 的最小面积【解答】解：根据题意：圆 C：（x1）2+（y1）2=4，圆心为（1，1） ，半径 r=2，点 P 在直线 xy+4=0 上，设 P（t，t+4） ，切线与圆心的连线垂直，直线上的动点到圆心的距离 d2=（t1）2+（t+41）2，化简：d2=2（t2+2t+5） =2（t+1）2+8，那么：，则|PA|min=2，三角形 PAC 的最小面积为： =2，可得：SPACB=2SACP=4， 所以：四边形 PACB 的最小面积 SPABC=4， 故答案为：412已知双曲线 C 的渐进线方程为 y=x，则双曲线 C 的离心率为 或 【考点】双曲线的简单性质【分析】双曲线的渐近线为 y=
