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1、2016-2017 学年北京人大附中高三(上)开学数学试卷(理科)学年北京人大附中高三(上)开学数学试卷(理科)一、选择题(共一、选择题(共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 40 分)分)1复数 z=在复平面上对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 A=1,2,3,B=1,m,AB=B,则实数 m 的值为( ) A2B3C1 或 2 或 3D2 或 33如果 sin(A)=,那么 cos(A)=( )ABCD4设 x,yR,向量 =(1,x) , =(3,2x) ,若 ,则实数 x 的取值为( )A1B3C1 或3D3 或15函数 y
2、=log2的大致图象是( )ABCD6设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z=3xy 的取值范围是( )ABC1,6D7如图,半径为 2 的O 中,AOB=120,C 为 OB 的中点,AC 的延长线交O 于点 D,连接 BD,则 弦 BD 的长为( )ABCD8若函数 f(x)=x2lnx 在其定义域的一个子区间(k1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是( ) A (1,2) B1,2)C0,2)D (0,2)二、填空题二、填空题9抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2,则 a= 10极坐标系中,直线 sin()+1=0 与极轴所在直线的交点的极坐标为 (只需写出一个即
3、可)11点 P 是直线 l:xy+4=0 上一动点,PA 与 PB 是圆 C:(x1)2+(y1)2=4 的两条切线,则四边形PACB 的最小面积为 12已知双曲线 C 的渐进线方程为 y=x,则双曲线 C 的离心率为 13集合 U=1,2,3的所有子集共有 个,从中任意选出 2 个不同的子集 A 和 B,若 AB 且 BA, 则不同的选法共有 种14已知数列an是各项均为正整数的等差数列,公差 dN*,且an中任意两项之和也是该数列中的一 项(1)若 a1=4,则 d 的取值集合为 ; (2)若 a1=2m(mN*) ,则 d 的所有可能取值的和为 三、解答题(共三、解答题(共 6 小题,满
4、分小题,满分 80 分)分)15已知函数 f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x ()求函数 f(x)的单调递增区间;()若 x0,求函数 f(x)的最值及相应 x 的取值16已知递减等差数列an满足:a1=2,a2a3=40 ()求数列an的通项公式及前 n 项和 Sn; ()若递减等比数列bn满足:b2=a2,b4=a4,求数列bn的通项公式17某公司每月最多生产 100 台警报系统装置,生产 x 台(xN*)的总收入为 30x0.2x2(单位:万元)每月投入的固定成本(包括机械检修、工人工资等)为 40 万元,此外,每生产一台还需材料成本 5 万 元在经济学中,常常利用每
5、月利润函数 P(x)的边际利润函数 MP(x)来研究何时获得最大利润,其中 MP(x)=P(x+1)P(x) ()求利润函数 P(x)及其边际利润函数 MP(x) ; ()利用边际利润函数 MP(x)研究,该公司每月生产多少台警报系统装置,可获得最大利润?最大利 润是多少?18已知函数 f(x)=axex,其中常数 a0,e 为自然对数的底数 ()求函数 f(x)的单调区间; ()当 a=1 时,求函数 f(x)的极值;()若直线 y=e(x)是曲线 y=f(x)的切线,求实数 a 的值19已知椭圆 C: +=1(ab0) ,离心率 e=,已知点 P(0,)到椭圆 C 的右焦点 F 的距离是设
6、经过点 P 且斜率存在的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点,线段 AB 的中垂线与 x 轴相交于一点 Q ()求椭圆 C 的标准方程;()求点 Q 的横坐标 x0的取值范围20对于序列 A0:a0,a1,a2,an(nN*) ,实施变换 T 得序列 A1:a1+a2,a2+a3,an1+an,记作A1=T(A0):对 A1继续实施变换 T 得序列 A2=T(A1)=T(T(A0) ) ,记作 A2=T2(A0) ;An1=Tn1(A0) 最后得到的序列 An1只有一个数,记作 S(A0) ()若序列 A0为 1,2,3,求 S(A0) ; ()若序列 A0为 1,2,n,求 S(A0) ;
7、()若序列 A 和 B 完全一样,则称序列 A 与 B 相等,记作 A=B,若序列 B 为序列 A0:1,2,n 的 一个排列,请问:B=A0是 S(B)=S(A0)的什么条件?请说明理由2016-2017 学年北京人大附中高三(上)开学数学试卷(理科)学年北京人大附中高三(上)开学数学试卷(理科)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题(共一、选择题(共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 40 分)分)1复数 z=在复平面上对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分
8、母同乘以分母的共轭复数,分母根据平方差公式得到一个实 数,分子进行复数的乘法运算,得到最简结果,写出对应的点的坐标,得到位置【解答】解:z=+i,复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限 故选 A2已知集合 A=1,2,3,B=1,m,AB=B,则实数 m 的值为( ) A2B3C1 或 2 或 3D2 或 3 【考点】交集及其运算 【分析】根据 A,B,以及两集合的交集为 B,得到 B 为 A 的子集,确定出实数 m 的值即可 【解答】解:A=1,2,3,B=1,m,且 AB=B,BA, 则实数 m 的值为 2 或 3, 故选:D3如果 sin(A)=,那么 cos(A)=( )ABCD【考
9、点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系 【分析】直接利用诱导公式化简求解函数值即可【解答】解:sin(A)=,可得 sinA=,cos(A)=sinA=,故选:B4设 x,yR,向量 =(1,x) , =(3,2x) ,若 ,则实数 x 的取值为( )A1B3C1 或3D3 或1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由 ,可得=0,解出即可得出【解答】解: ,=3+x(2x)=0,化为 x22x3=0,解得 x=3 或1故选:D5函数 y=log2的大致图象是( )ABCD【考点】函数的图象 【分析】分析出函数的定义域和单调性,利用排除法,可得答案【解答】解:函数 y=l
10、og2的定义域为(1,+) ,故排除 C,D; 函数 y=log2为增函数,故排除 B,故选:A6设变量 x,y 满足约束条件,则目标函数 z=3xy 的取值范围是( )ABC1,6D【考点】简单线性规划 【分析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;由目标函数中 z 的几何意义可求 z 的 最大值与最小值,进而可求 z 的范围 【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示由 z=3xy 可得 y=3xz,则z 为直线 y=3xz 在 y 轴上的截距,截距越大,z 越小结合图形可知,当直线 y=3xz 平移到 B 时,z 最小,平移到 C 时 z 最大由可得 B(,3) ,由
11、可得 C(2,0) ,zmax=6 故选 A7如图,半径为 2 的O 中,AOB=120,C 为 OB 的中点,AC 的延长线交O 于点 D,连接 BD,则 弦 BD 的长为( )ABCD 【考点】与圆有关的比例线段 【分析】在OAC 中,运用余弦定理可得 AC,cosACO,延长 CO 交圆于 E,再由圆的相交弦定理,可 得 ACCD=BCCE,求得 CD,再在BCD 中,运用余弦定理可得 BD 的长 【解答】解:在OAC 中,OA=2,OC=1,AOC=120,可得 AC2=OA2+OC22OAOCcosAOC=4+1221cos120=5+2=7,即 AC=,cosACO=,延长 CO
12、交圆于 E, 由圆的相交弦定理,可得 ACCD=BCCE,即 CD=,在BCD 中,BD2=BC2+DC22BCDCcosBCD=1+21=可得 BD= 故选:C8若函数 f(x)=x2lnx 在其定义域的一个子区间(k1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是( ) A (1,2) B1,2)C0,2)D (0,2) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【分析】求出函数的定义域和导数,判断函数的单调性和极值,即可得到结论 【解答】解:函数的定义域为(0,+) ,函数的 f(x)=x=,由 f(x)0 解得 x1,此时函数单调递增, 由 f(x)0 解得 0x1,此时函数单调递减, 故
13、 x=1 时,函数取得极小值当 k=1 时, (k1,k+1)为(0,2) ,函数在(0,1)上单调减,在(1,2)上单调增,此时函数在(0,2)上不是单调函数,满足题意;当 k1 时,函数 f(x)在其定义域的一个子区间(k1,k+1)内不是单调函数,x=1 在(k1,k+1)内,即,即,即 0k2,此时 1k2, 综上 1k2, 故选:B二、填空题二、填空题9抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2,则 a= 8 【考点】抛物线的简单性质【分析】依题意可求得抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=,而抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2,从而可求a【解答】解:抛物线 x2=ay 的准线方
14、程是 y=,又抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2,=2,a=8故答案为:810极坐标系中,直线 sin()+1=0 与极轴所在直线的交点的极坐标为 (2,) (只需写出一个即可) 【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】令 =,可得: +1=0,解得 即可得出【解答】解:令 =,可得: +1=0,解得 =2,可得交点(2,) 故答案为:(2,) 11点 P 是直线 l:xy+4=0 上一动点,PA 与 PB 是圆 C:(x1)2+(y1)2=4 的两条切线,则四边形PACB 的最小面积为 4 【考点】圆的切线方程【分析】利用切线与圆心的连线垂直,可得 SPACB=2SACP ,要求四边形 P
15、ACB 的最小面积,即直线上的 动点到圆心的距离最短,利用二次函数的配方求解最小值,得到三角形的边长最小值,可以求四边形 PACB 的最小面积【解答】解:根据题意:圆 C:(x1)2+(y1)2=4,圆心为(1,1) ,半径 r=2,点 P 在直线 xy+4=0 上,设 P(t,t+4) ,切线与圆心的连线垂直,直线上的动点到圆心的距离 d2=(t1)2+(t+41)2,化简:d2=2(t2+2t+5) =2(t+1)2+8,那么:,则|PA|min=2,三角形 PAC 的最小面积为: =2,可得:SPACB=2SACP=4, 所以:四边形 PACB 的最小面积 SPABC=4, 故答案为:412已知双曲线 C 的渐进线方程为 y=x,则双曲线 C 的离心率为 或 【考点】双曲线的简单性质【分析】双曲线的渐近线为 y=