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1、2 向量组的线性相关性矩阵、线性方程组的向量表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的等价性 下页关闭本节中向量组的线性相关性与第三节中向量组的秩 的概念是本章的重点和难点。同学们必须熟练且准确地 掌握。通过理清“矩阵”，“向量组”和“线性方程组”的密 切关系可以更好地理解概念和解决问题。若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集 合叫做向量组。 一个 mn 矩阵 A= ( aij ) 对应的 n 个 m 维列向量组成的向量组称为矩阵 A 的列向量组。矩阵的向量表示上页下页返回m n 矩阵 A 对应 的m 个 n 维行向量组成的向量组称为矩阵 A 的行向量组。反之，由有限个向量所组成的向量组可
2、以构成一 个矩阵。上页下页返回m 个 n 维行向量所组成的向量组构成一个 m n 矩阵上页下页返回构成一个 n m 矩阵m 个 n 维 列向量所组成的向量组与增广矩阵 B 的行向量组对应。 则可见方程组与 B 的列向量组 之间也有对应关系。线性方程组的向量表示线性方程组写成矩阵的形式是 从而方程组与它的增广矩阵 对应。 其中一个方程对应一个行向量,则方程组即一一若把方程组写成向量形式上页下页返回称为向量组 A 的一个线性组合， k1 , k2 , , km 称为 这个线性组合的系数。定义2 给定向量组对于任何一组实数 k1 , k2 , , km , 向量给定向量组和向量如果存在一组实数 1
3、, 2 , , m , 使则称向量的线性组合。或称向量可由向量组 A 线性表示。上页下页返回向量组 A能由向量组 A 线性表示，等价于方程组有解。 由线性方程组有解的充要条件（上一章定理3）， 立即可得：向量定理1 向量能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩。上页下页返回定义3 设有两个 n 维向量组如果向量组 A 中每一个向量都能由 B 组中的向量 线性表示，则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示。如果向量组 A 与 B 能相互线性表示，则称向量组 A 与 B 等价。把向量组 A 和 B 所构成的向量依次记作上页下页返回B 组能由 A 组线性表示，即对每一个向量存在实
4、数 k 1j，k2j， ，kmj，使上页下页返回从而这里，矩阵称为这一线性变换的系数矩阵。上页下页返回由此可知，若则矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B 为这一表示的系 数矩阵：上页下页返回同时，C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表 示，A 是这一表示的系数矩阵：上页下页返回定义4 给定向量组 如果存在一组不全为零的数则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关。注:定义4适用于 m = 1 的情形。当 m = 1 时，向量组只含一个向量 a ，当 a = 0 时是线性相关的,当 a 0 时是线性无关的。向量组的线性相关与线性无关上页下页返回例:向量组由于存在不全为零
5、的数 2，1，1 使对于含有 2 个向量的向量组，它线性相关的充分必要条件是的分量成比例，其几何意义是两向量共线。故向量组线性相关。上页下页返回不是线性相关，就是线性无关。所谓向量组 A 线 性无关，换句话说就是：当且仅当例:向量组设有 k1, k2 两个数，使从而有：于是必有 k1 = k2 = 0.故向量组线性无关。上页下页返回命题：向量组 线性相关的充分必要条件是向量组 A 中至少有一个证 充分性 设向量组 A 中有一个向量（不妨设 am ）能由其余 m1个向量线性表示，即有 k1, k2, , km 使于是因上式系数不全为零，所以向量组 A 线性相关。向量能由其余 m 1个向量线性表示
6、。上页下页返回必要性。设向量组 A 线性相关，即有一组不全 为 零的数k1, k2, , km(不妨设 k1 0),使则有向量组的线性相关性与线性无关的概念也可用 于线性方程组。上页下页返回向量组构成矩阵向量组 A 线性相关，等价于齐次线性方程组由上章定理2，可得定理2 向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量的个数 m ；向量组线性无关的充分必要条件是 R（A）= m。 上页下页返回例4 n 维向量称为 n 维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性。解法一 n 维单位坐标向量组构成如下的矩阵：它是 n 阶单位矩阵。由 | E | 0，知R（E）= n ， 即R（E）等于向量组中
7、向量的个数，故由定理 2 知此向量组线性无关。上页下页返回解法二设有一组数上页下页返回例5已知解法一试讨论向量组及向量组的线性相关性。上页下页返回(同例4解法一的方法)可见故向量组线性相关。故向量组线性无关。上页下页返回解法二设有 x1, x2, x3 使即上页下页返回思考:要判断上面的方程是否有非零解,有没直接 的方法?提示:克拉默法则例6试证明： 证设有 x1, x2, x3 使设向量组线性无关。也线性无关。上页下页返回由于系数行列式故方程 只有零解, 所以上页下页返回解法二设有一组数 x1, x2, x3 使即由于此方程的系数行列式故方程组只有零解 ，所以向量组线性无关。上页下页返回线性
8、相关性是向量组的一个重要性质，下面介绍 与之有关的一些结论。反之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性 无关。 证 (1) 记若向量组 A 线性相关，则根据定理2，根据定理2知向量组 B 线性相关。定理 3 (1) 若向量组线性相 关，则向量组也线性相关。上页下页返回即设向量组 A 是向量组 B 的一部分（称 A 组是 B 组的部分组），于是结论(1) 可叙述为：一个向量组若 有线性相关的部分组，则该向量组线性相关。特别地，含零向量的向量组必线性相关。一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线 性无关。结论(1) 是对向量组增加 1 个向量而言的，增加 多个向量结论也仍然成立。上页下页
9、返回(2) 设即向量添上一个分量后得向量若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关。反之，若向量组 B 线性相关，则向量 组 A 也线性相关。上页下页返回证(2) 记若向量组 A 线性无关，则R (A) = m，从而R(B) m , 因此向量组 B 线性无关。结论 2 是对向量增加一个分量而言的，如果增加 多个分量结论仍然成立。上页下页返回(3)当m n 时，m 个 n 维向量组成的向量组一 定线性相关。证(3) m 个 n 维向量构成矩阵若 n m ，则 R(A) m ，故 m 个向量线性相关。上页下页返回A 线性表示，且表示式是唯一的。证(4) 记因 A 组线性无关，因 B 组线性相关，根据上一章定理3，知方程组有唯一解，(4) 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量必能由向量组即得结论.上页返回习题已知是否线性相关。解法一施行初等行变换变成行阶梯形矩阵，即可看出矩阵 利用定理 2 ，即可得出结论。Ex.1试讨论向量组对矩阵可见故向量组线性无关。解法二设有一组数 x1, x2, x3 使即由于此方程的系数行列式故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，所以向量组线性无关。Ex.2证设有一组数 x1, x2, x3 使设向量组线性无关，且证明设向量组也线性无关。因向量组由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解x1 = x2 = x3 = 0，所以向量组线性无关。
