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1、第三节 抛物线 考纲解读掌握抛物线、几何图形、标准方程及简单性质. 知识点精讲一、基本概念平面内与一个定点 和一条直线 的距离相等的点的轨迹叫作抛物线,定 点叫作抛物线的焦点,定直线 叫作抛物线的准线.二、基本性质、定理与公式1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有 种形式:如表10-3所示)其中一次项与对称轴一致,一次项系数的符号决定开口方向.表 10-3标准方程图形对称轴顶点 原点焦点坐标准线方程2. 点 与抛物线 的关系.(1) 在抛物线内(含焦点)(2)(3)3. 焦半径抛物线上的点 与焦点 的距离称为焦半径,若 ,则焦半径4. 的几何意义为焦点 到准线 的距离,即焦准距. 越大,抛物线
2、开口越大.5. 焦点弦若 为抛物线 的焦点弦, ,弦中点为,则有以下结论:(1)(2)(3)焦点弦长公式1: ,即当 时,焦 点弦取最小值 ,即所有焦点弦中通径最短,其长度为(4)焦点弦长公式2:(5) 的面积公式:(6)抛物线的弦若 为抛物线 的任意一条弦, ,弦 的中点为 则:(1)弦长公式:(2)(3)直线 的方程为(4)线段 的垂直平分线方程为7.求抛物线的标准方程的焦点和准线的快速方法(2) ,焦点为 ,准线为如 焦点为 ,准线为8. 参数方程的参数方程为9. 切线方程和切点弦方程抛物线的切线方程为 为切点;切点弦方程为在抛物线外.题型归纳及思路提示题型144 抛物线方程的求解【例1
3、0.24】已知抛物线 的准线与圆 相切, 则 的值为( ). A. B. C. D. 【解析】抛物线的准线为 ,圆 的标准方程为由 与圆相切知 ,解得 故选C.题型145 与抛物线有关的距离和最值问题【例10.28】已知直线 和 ,抛物线 上一动点 到直线 和 的距离之和最小值是( ).A. B. C. D. 【解析】如图10-12所示,抛物线方程 为其准线,焦点为 由抛物线定义知 故选A . 题型146 抛物线中三角形、四边形的面积问题【例10.29】在直角坐标系 中,直线 过抛物线 的焦点 ,且与该抛物线相交于 两点,其中点 在 轴上方,若直线 的倾斜角为 ,则 的面积为 . 【解析】如图
4、10-13所示 ,由题意得准线.作 ,连接 则 ,又 ,故三角形为正三角形.因为 ,所以所以图 10-13第四节 曲线与方程考纲解读了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系,理解曲线与方程的概念. 知识点精讲一、基本概念 1.曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中,如果某曲线 (看作适合某种条件的点的集合或轨 迹)上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解.(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线.事实上,曲线可以看作一个点集 ,一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集 .上述定义中2. 直接法
5、求动点的轨迹方程(1)建系建立适当的坐标系;(2)设点设轨迹上的任一点 ;(3)列式列出限制关系式;(4)代换依条件式的特点,选用距离和斜率公式等将其转化为 的方程式,并化简.(5)证明(一般省略)证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程(对某些特殊值应另外补充检验).题型归纳及思路提示题型147 求动点的轨迹方程【例10.31】在平面直角坐标系 中,点 与点 关于原点 对称, 是动点,且直线 与 的斜率之积等于 ,求动点 的轨迹方程.【分析】设 ,将题设中直线 与直线 的斜率之积等于 翻译成 含 的等式. 【解析】因为点 与点 关于原点 对称,所以点 的坐标为 设的坐标为 , 由题意得 ,化简得故动点 的轨迹方程为 【例10.34】已知 为椭圆 上的点,点 坐标为 ,有 . 求点 的轨迹方程.【分析】本题已知 (相关点)在椭圆上,点 坐标已知,只需用点 的坐标 表示点 的坐标,然后代入椭圆方程便可解出.【解析】设 因为 ,故 .故 ,代入因此点 的轨迹方程为