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1、第七章第七章 参数估计参数估计1矩法估计:矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量矩法估计:矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量设 X 为总体,为其样本EX2DXnxxx,21则的矩估计 x的矩估计 22122)(1 niinxxnS例例 1 设总体,其中皆未知,为其样本,求的矩估计X),(2N2,nxxx,212,解:解:因为,故EXx,故2DX22nS例例 2 设总体,未知,求的矩估计X), 0(U0解:解:因为,故(矩法方程) ,由此解得,即为的矩估计2EXx2x2例例 3 设总体,其中,未知为其样本,求 P 的矩估计X), 1 ( PB10 Pnxxx,21解:解:由,故
2、P 的矩估计PEX xP 2极大似然估计极大似然估计设总体 X,具有概率密度函数, 其中为未知参数,其变化范围为,为其样本,);(xfHH nxxx,21则似然函数为niixfL1);()(若存在使 ,则称为的极大似然估计L()maxLL),(LH L一般求法:一般求法:由题设,求出的表达式niixfL1);()(取对数: *1ln ( )ln( ; )ni iLf x求导并令其等于 0,建立似然方程 *ln ( )0dLd解之即得的极大似然估计2例例 4 设是总体 X 的样本,总体概率密度为nxxx,21) 1(, , 01,);()1( 其他xxxf求求 的矩估计和极大似然估计12解:解:
3、(1)由 解得为之矩估计xdxxxEX1)1(11 1xx(2)似然函数 niniin iniixxxfL1)1(1)1(1);()( *1ln ( )ln(1)lnni iLnx解得的极大似然估计 niixn dLd10ln)(ln niixn12 ln例例 5 设总体 X,为其样本,求的极大似然估计), 0(U0nxxx,21解:解: 由于按常规方法建立的似然方程无解,故用极大似然估计的定义解之设nxxxnx,max)(21欲使似然函数达最大,取即可nniixfL1);()(1)(nx注注 其他, 0,0,1 )(21nnxxxL3估计量的评价标准估计量的评价标准(1)无偏性:若,则为的无偏估计E(2)有效性:若、皆为之无偏估计,且 D,则称较有效1221D12(3)相合性:若的估计量满足,则称为之相合估计),( 1nnxx nnElim0lim nnDn4参数的区间估计参数的区间估计设总体,为其样本X),(2Nnxxx,21则的置信度的区间估计为)1 ((1)已知时;2 2/2/,unxunx(2)未知时;2 ) 1(),1(22ntnsxntnsx(见书中 P.162 表)例例 6 设总体,且,则的 0.95 置信区间为X),(2N212,12, 4nx653.12,347.1196. 1124122 unx注注请查看教材中正态总体参数的区间估计一览表