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1、第 七 节数学归纳法数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取_时命题成立，这一步是归纳奠基.(2)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立，这一步是归纳递推.完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.第一个值n0(n0N*)n=k+1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n=1时结论成立.( )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( )(4)不论是等式还是不等式，用
2、数学归纳法证明时，由nk 到 nk1时，项数都增加了一项.( )(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”，验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23.( )【解析】(1)错误.用数学归纳法证明时，第一步是验证当n取第一个可取值时结论成立，第一个可取值不一定是1.(2)错误.例如，证明等式 时，也可直接运用等比数列的求和公式证明.(3)错误.用数学归纳法证明问题时，归纳假设必须用上，否则就不是用数学归纳法证明.(4)错误.用数学归纳法证明时，由nk 到 nk1时项数不一定都增加了一项.(5)正确.当n=1时左边式子一共有4项，为1+2+22+23.答案：(1) (2)
3、 (3) (4) (5) 1.用数学归纳法证明3nn3(n3,nN)时，第一步应验证当n取何值时成立( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选C.由已知条件n3,nN知，应验证当n=3时不等式成立.2.若f(n)= (nN*)，则f(1)为( )【解析】选D.f(1)=1+3用数学归纳法证明：1 1)时，在第二步证明从 nk 到 nk1 成立时，左边增加的项数是( )(A)2k (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1【解析】选A.增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k，故选A.4用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN*)，由
4、n=k到n=k+1时，等式左边的变化是( )(A)多乘了(2k+1) (B)多乘了2(2k+1)(C)多乘了(2k+1)(2k+2) (D)多乘了2(k+1)【解析】选B.当n=k时，左边=(k+1)(k+2)(k+k),当n=k+1时，左边=(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)(k+k)=(k+1)(k+2)(k+k)2(2k+1),所以多乘了2(2k+1).5在数列an中，a1 且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式，其结果是_.【解析】由a1 且Sn=n(2n-1)a
5、n得，a2 ，a3a4 而a1= ,a2= ,a3=a4= ,可得an答案：an考向 1 用数学归纳法证明等式 【典例1】(2012天津高考)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10.(1) 求数列an与bn的通项公式.(2) 记Tn=anb1+an-1b2+a1bn(nN*)，证明Tn+12=-2an+10bn(nN*).【思路点拨】(1)第一问可分别求出公差和公比即得通项公式.(2)第二问可用数学归纳法证明等式成立.【规范解答】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=
6、2q3,S4=8+6d,由条件得方程组：an=3n-1,bn=2n(nN*).(2)下面用数学归纳法证明等式Tn+12=-2an+10bn(nN*)成立.当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，而-2a1+10b1=16,故等式成立；假设当n=k(k1,且kN*)时等式成立，即Tk+12=-2ak+10bk,则当n=k+1时有：Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+a1bk+1=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+a1bk)=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-
7、12.即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1时等式也成立.由和可知，对任意nN*,Tn+12=-2an+10bn(nN*)成立.【拓展提升】用数学归纳法证明等式的注意点(1)明确等式两边项的构成规律，弄清由n=k到n=k+1时左边的项是如何变化的，由此明确变形的目标.(2)注意合理利用恒等变形的常用方法.例如,因式分解、添拆项、配方等.【变式训练】 是否存在常数a，b，c，使等式122232n(n1)2 (an2bnc)对一切正整数n都成立？证明你的结论【解析】把n1，2，3代入等式得方程组猜想：等式122232n(n1)2(3n211n10)对一切nN*都成立下面用数学
8、归纳法证明：(1)当n1时，由上面可知等式成立(2)假设nk(k1,kN*)时等式成立，即122232k(k1)2 (3k211k10)，则当nk+1时，122232k(k1)2(k1)(k2)2 (3k211k10)(k1)(k2)2 (3k5)(k2)(k1)(k2)2 k(3k5)12(k2)= 3(k+1)2+11(k+1)+10,当 nk1 时，等式也成立综合(1)(2)，对nN*等式都成立考向 2 用数学归纳法证明不等式 【典例2】由下列不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.【思路点拨】观察所给出的不等式，其左边是若干个分式相加，分子都是1，分母由1开始，每一项比前一项
9、大1，最后一项是2n-1，因此左边的式子为 不等式的右边是一个分数，依次为 由此可得到一般的不等式.证明可采用数学归纳法.【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为用数学归纳法证明如下：(1)当n=1时，1 ,猜想成立.(2)假设当n=k(k1,kN*)时，猜想成立，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的nN*，不等式都成立.【拓展提升】用数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假
10、设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.【变式训练】求证： (n2，nN*)【证明】(1)当n2时，左边 不等式成立(2)假设nk(k2，kN*)时命题成立，即则当nk1时，当nk1时不等式亦成立原不等式对一切n2，nN*均成立考向 3 归纳、猜想、证明 【典例3】 在数列an中，a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n(nN*,0).(1)求a2，a3，a4.(2)猜想an的通项公式，并加以证明.【思路点拨】利用递推公式将n=1,2,3代入即可求得a2，a3，a4，然后再用数学归纳法证明猜想成立.【规范解答】(1)a222(2)2222，a3(222)3(2)22
11、2323，a4(2323)4(2)233424.(2)由(1)可猜想数列通项公式为：an=(n-1)n+2n.下面用数学归纳法证明：当n1时，a12，等式成立假设当nk(k1,kN*)时等式成立，即ak=(k-1)k+2k，那么当n=k+1时，ak+1=ak+k+1+(2-)2k=(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k=(k+1)-1k+1+2k+1,即当nk1时等式也成立，根据和可知，等式对任何nN*都成立【拓展提升】解“归纳猜想证明”题的关键环节(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论.(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.【
12、变式训练】数列an中，a1=1,a2= ,且an+1= 求a3,a4,猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.【解析】因为a1=1，a2= ，且an+1所以 同理可求得a4=归纳猜想an=下面用数学归纳法证明猜想正确.(1)当n=1时，易知猜想正确.(2)假设当n=k(k1,kN*)时，猜想正确，即ak=那么当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也正确.由(1)(2)可知，猜想对任意正整数都正确.考向 4 用数学归纳法证明整除问题 【典例4】用数学归纳法证明：(3n+1)7n-1(nN*)能被9整除.【思路点拨】在第二步证明中，注意利用归纳假设，对n=k+1时的式子进行合理变形.【规范解
13、答】(1)当n=1时，(31+1)7-1=27能被9整除，命题成立；(2)假设当n=k(kN*,k1)时命题成立，即(3k+1)7k-1能被9整除，则当n=k+1时，3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)7k+1-1+37k+1=(3k+1)7k-1+6(3k+1)7k+37k+1=(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k.由于(3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除，所以(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k能被9整除，即当n=k+1时，命题也成立，故(3n+1)7n-1(nN*)能被9整除.【拓展提升】证明整除问题的关键“凑项”证明整除问题的关键是“凑项”，即采用增项、减
14、项、拆项和因式分解等手段，将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.【变式训练】用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除，其中n为正整数.【证明】(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除.(2)假设当n=k(k1,kN*)时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2).42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除,42(k+1)+1+3k+3能被13整除.方法二：42(k+1)+1+3k+3 -3(42k+1+3k+2)=(42k+142+3k+23)-3(42k+1+3k+2)=42k+113,42k+113能被13整除，42(k+1)+1+3k+3-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,当n=k+1时，命题也成立,由(1)、(2)知，对任意nN*，42n+1+3n+2都能被13整除.
