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1、目录目录摘要 1引言 2一 凸函数概念及其定义3（一）凸函数的几种不同定义 3（二）几种不同定义之间的相互联系 5二 凸函数的有关结论6（一）凸函数的运算性质 6（二）凸函数的其它性质 7（三）凸函数的充要条件 9三 对数性凸函数的定义及其性质11（一）对数性凸函数的定义 12（二）对数性凸函数的基本性质 13（三）与对数性凸函数的性质相关的定理 14（四）对数性凸函数性质的应用 15结束语 17参考文献 171浅谈凸函数及其应用浅谈凸函数及其应用摘要摘要：凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于 jensen 著作中它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划，对策论数
2、理经济学，变分学和最优控制学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强他们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定及其应用，总结了凸函数的许多重要性质，列举了凸函数的几个著名的不等式引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文1的启发,在文1的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。其中包括应用比较广泛的詹森（Jensen）不等式、赫尔德（Hlder）不等式、闵可夫斯基（Minkowski）不等式及一些初等不等式.关键词关键词：凸函数; 对数性凸函
3、数；不等式;证明;应用Convex Function and its Application Abstract: convex function is a kind of important function ,its concept form most early in Jensen in the writing .It has numerous application in broad fields of pure Mathematics and applied Mathematics .Convex function is now plays important theoretical
4、basic and useful tools to mang subjects such as mathematical planning theory ,response theory ,numerical economics ,change ho theory and sub-optimal control and so on .For theoretical breakthrough,reinforce their application in practice, produced generalized convex function. Enumerated convex functi
5、on is introduced several famous inequality logarithmic ratio convex function concept, won the logarithmic ratio some basic properties of convex function, and discussed the logarithmic ratio of basic properties of convex function by some of the application, the inspiration of 1, 1 in the basis, in th
6、is paper, we obtain the logarithmic sex convex function is seven basic properties, and discusses the properties of logarithmic ratio convex function applications. This paper investigates the criterions of convex function and its applications based on the definition of convex function, summarizes man
7、y important properties of convex functions, and lists several well-known inequalities of convex function, including Jensen inequality, Hlders inequality, Minkowski inequality and some elementary inequalities, which are widely applied.Keywords: convex function; Logarithmically convex function sex； in
8、equality; proof; application引言凸函数是一类比较重要的函数，在数学规划、泛函分析以及概率论中有着广泛的应用.凸函数的连续性、可导性之间的联系及凸函数在不等式证2明方面有着重要作用和现实意义.那么，凸函数有哪几种不同的定义，它们之间有着如何的关系，彼此之间能否相互转化，凸函数究竟有哪些性质，并且这些性质在不等式的证明中又有哪些作用，这些都是本文要讨论的内容.凸函数分为上凸函数与下凸函数.文中主要证明的是下凸函数在不等式中的应用.同时也运用到了上凸函数的一些性质.一、凸函数的概念及其定义（一）凸函数的几种不同定义定义 1 如果函数在上连续，对上任意不同的两点，有 ( )
9、f xba,12,x x,则称是上的下凸函数. 1212 22f xf xxxf( )f xba,定义 2 设为定义在区间 上的函数，若对 上任意两点和任( )f xII12,x x意实数有，则称是区间(0,1),1212(1)( )(1) ()fxxf xf x( )f x上的下凸函数.I定义 3 设函数定义在区间 上，对于 上任意三点，下( )f xII123xxx列不等式中任何两个组成的不等式成立，213132213132()( )()( )()()f xf xf xf xf xf x xxxxxx称是区间 上的下凸函数.( )f xI注：（1）若将定义 1，2，3 中的“ ”改为“ ”
10、 ，则称为上( )f xba,的严格下凸函数.（2）若定义 1，2，3 中的“ ”改为“ ” ，则称为区间上 的上凸( )f xI函数.定义 4 利用二阶导数判断曲线的凸向: :3例 设函数在区间内存在二阶导数,则在内( )f x( , )a b( , )a b 在内严格上凸;( )0, ( )fxf x( , )a b 在内严格下凸.( )0,( )fxf x( , )a b证法一 (用 Taylor 公式)对设,把在点展开),(,21baxx221 0xxx( )f x0x成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式，有21 1001010( )( )()()()() .2ff x
11、f xfxxxxx22 2002020()()()()()() .2ff xf xfxxxxx其中和在与之间.注意到,就有121x2x)(0201xxxx22 1201102201( )()2 ()( )()()()2f xf xf xfxxfxx于是,若有上式中,即( )0, fx 1200, ( )()2 ()f xf xf xL严格上凸若有 上式中,( )f x( )0, fx 1200, ( )()2 ()f xf xf xL即严格下凸.( )f x证法二 (利用 Lagrange 中值定理.)若则有严格单调增.不( )0,fx( )fx妨设,并设分别在区间和上应用 Lagrange
12、中值12xx12 02xxx10 ,x x02,x x定理,有11001101( ,), ()( )( )()x xf xf xfxx20220220(,), ()()()()x xf xf xfxx有，又由，1102212( )()xxxff01200xxxx，即101220( )()()()fxxfxx 0120()( )()()f xf xf xf x4，12 120( )()2 ()22xxf xf xf xf严格下凸.可类证 情况.( )f x( )0fx（二）几种不同定义之间的相互联系（1）在定义 2 中区间，为连续函数，当时，定义 2,Ia b( )f x21即为定义 1.（2）
13、令 ，那么，令，代入定义 3 中2131xx xx01132)1 (xxx任意一式，变形后即得定义 2 中的形式.二 凸函数的有关结论（一） 凸函数的运算性质性质 1 若为区间 上的下（上）凸函数， 为非负实数，则也( )f xIk( )kf x为区间 上的下（上）凸函数.I性质 2 若 均为区间 上的下（上）凸函数，则也( )( )f xg x、I( )( )f xg x为区间 上的下（上）凸函数.I推论 若均为区间 上的下（上）凸函数，为非负实数，( )( )f xg x、I12,k k则也为区间 上的下（上）凸函数.12( )( )k f xk g xI性质 3 若为区间 上的下（上）凸
14、函数,为上的下（上）凸增函数，fIgJ且，则为区间 上的下（上）凸函数.( )f IJg fI性质 4 若均为区间 上的下（上）凸函数，则, f gI也是区间 上的下（上）凸函数.( )max( ), ( )F xf x g xI（二）凸函数的其他性质定理 1 设为区间 上的严格下凸函数,若有是的极小值点，fI0xI( )f x5则是在 上唯一的极小值点.0xfI证明 若有异于的另一极小值点，不妨设 ，由于f0x1xI10( )()f xf x是区间 上严格下凸函数,故对于任意的,都有fI(0,1).01010(1)()(1) ( )()fxxf xf xf x于是对任意,只要充分接近 1，总有0010(1)(, ).xxxU xII但是,.这与是的极小值点矛盾，从而是在 上0( )()f xf x0x( )f x0xfI唯一的极小值点.定理 2 设为开区间 上的凸函数，则对任何上满足( )f xI,I Lipchitz 条件，即存在,对任何，成立.0L12,x x 2121()()f xf xL xx证明 当取
