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1、2 2 线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质3 3 维数维数 基与坐标基与坐标4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换1 1 集合集合 映射映射第六章第六章 线性空间线性空间1一、一、线性空间中向量之间的线性关系线性空间中向量之间的线性关系 二二、线性空间的维数、基与坐标、线性空间的维数、基与坐标 6.3 6.3 维数维数 基与坐标基与坐标三、线性子空间的几个结果三、线性子空间的几个结果 2引入引入即线性空间的结构如何？怎样才能便于运算？问题如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）问题线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西数发生联系,使其能用比
2、较具体的数学式子来表达？（坐标问题） 3一、一、线性空间中向量之间的线性关系线性空间中向量之间的线性关系 1 1、有关定义、有关定义 设V 是数域 P 上的一个线性空间（1）和式 的一个线性组合称为向量组（2） ，若存在 则称向量 可由向量组 线性表出.使4若向量组 中每一向量皆可由向量组 线性表出，则称向量组可由向量组 线性表出. 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为等价的 （3），若存在不全为零的数 ，使得 则称向量组 线性相关.5（4）如果向量组 不是线性相关的，即只有在 时才成立， 则称 线性无关 （1）单个向量 线性相关 单个向量 线性无关 向量组 线性相关 中有一个向量可
3、由其余向量线性表出2 2、有关结论、有关结论6（2）若向量组 线性无关，且可被向量组 线性表出，则 若 与 为两线性无关的等价向量组，则 （3）若向量组 线性无关，但向量组 线性相关，则 可被向量组 线性表出，且表法是唯一的71 1、维数、维数 若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，则称 V 是无限维线性空间二、线性空间的维数、基与坐标二、线性空间的维数、基与坐标 n 维线性空间，常记作 dimV n .若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是任意 n1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个 注：注：零空间的维数定义为0.dimV 0 V0 8因为对任意的正整数 n，都有
4、n 个线性无关的例2 所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是无限维的. 向量1，x，x2，xn-1.例1 数域P上的向量空间Pn 的维数等于n,即dimPn=n.9在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量 2 2 基基称为 V 的一组基；下的坐标，记为 3 3 坐标坐标设 为线性空间 V 的一组基， 则数组 ，就称为 在基 若10有时也形式地记作 注意：注意：向量 的坐标 是被向量 和基 唯一确定的即向量 在基在不同基下 的坐标一般是不同的 下的坐标是唯一的. 113 3、线性空间的基与维数的确定、线性空间的基与维数的确定定理定理：若线性空间V中的向量组 满足 ） 线性无关； ） 可
5、经 线性表出 ,则V是n 维线性空间， 是V的一组基 12例3 3 维几何空间R3 是R3的一组基； 也是R3的一组基一般地，向量空间为n维的， 就是 Pn 的一组基称为Pn的标准基. 13 n 维线性空间 V 的基不是唯一的，V中任意 n个 任意两组基向量是等价的 例4（1）证明：线性空间Pxn是n 维的，且注意：注意：线性无关的向量都是V的一组基 （2）证明：1，xa，(xa)2，(xa)n11，x，x2，xn1 为 Pxn 的一组基 也为Pxn的一组基14证:（1）首先，1，x，x2，xn1是线性无关的 1，x，x2，xn1 为Pxn的一组基，从而，Pxn是n维的.其次， 可经 1，x，
6、x2，xn1线性表出 注：注：在基1，x，x2，xn1下的坐标就是此时，15（2）1，xa，(xa)2，(xa)n1是线性无关的 又对 ，按泰勒展开公式有 即,f(x)可经1，xa，(xa)2，(xa)n1线性表出.1，xa，(xa)2，(xa)n1为Pxn的一组基 在基1，xa，(xa)2，(xa)n1下的坐标是 注：注：此时，16若把C看成是实数域R上的线性空间呢？ 而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i 就为例5 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性空间的维数与一组基；解：复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的一组基；它的一组基注注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的
7、，数1就是它的一组基. 维数与所考虑的数域有关.17解：令 则 是线性无关的事实上，由 ，即 有 又对 ，有 例6 求数域P上的线性空间 的维数和一组基 是 的一组基， 是4维的 18矩阵 在基 下的 坐标就是 一般地，数域P上的全体 矩阵构成的线性空间为 维的， 注：注：就是 的一组基 矩阵单位19下的坐标，其中 解：设 ，则有线性方程组解之得， 在基 下的坐标为 例7 在线性空间 中求向量 在基 20练练 习习1.已知全体正实数R对于加法与数量乘法：构成实数域R上的线性空间，求R的维数与一组基. 2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里 211 解: 数1是R的零元素.即 x 可由
8、 a 线性表出.任取R中的一个数 a , 且 ，则a是线性无关的.故R是一维的，任一正实数 就是R的一组基.222 解: 23下证 线性无关. 设得齐次线性方程组其系数行列式24方程组只有零解：故 线性无关. 又由知，任意f(A)均可表成 的线性组合，所以V为三维线性空间， 就是V 的一组基.25三、线性子空间的几个结果设V是数域P上的线性空间， W是V 的一个线性子空间 线性子空间也有基与维数的概念. 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.例1 Pxn是Px的的线性子空间， 维数等于n-1例2 n元齐次线性方程组 AX=0解空间的维数n-R(A)， 方程组的一个基础解系就是解空间的一组
9、基.26例3 求Pn的下列子空间的维数和一组基： 解：(1) W1 是n元齐次线性方程组的解空间 . 就是W1 的一组基.所以，dimW1 n1，的一个基础解系(2) dimW3 n1，,是W3的一组基.27例4 在Pn 中， 为Pn的一组基，即 Pn 由它的一组基生成.类似地，还有事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成.28有关结论有关结论1 1、设W为n维线性空间V的任一子空间， 是W的一组基，则有2 2、（定理定理3 p2563 p256） 1） ； 为线性空间V中的两组向量，则与 等价 2）生成子空间 的维数向量组 的秩29为 V 的一组基即在 V 中必定可找到 nm 个向
10、量设W为 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，4 4、（定理定理4 p2564 p256）为W的一组基，则这组向量必定可扩充，使 为 V 的一组基扩基定理证明：对nm作数学归纳法无关组，则推论：设 是线性空间V中不全为零的一组向量， 是它的一个极大30它扩充为P4的一组基，其中例5 求 的维数与一组基，并把解：对以 为列向量的矩阵A作初等行变换31由B知， 为 的一个极大故 维数=3，就是 的一组基.无关组.32则 线性无关，从而为P4的一组基.33练习练习设V为数域P上的线性空间， 为V的一组基， 且求 的一组基，并把它扩充为V的一组基.34令 对A作初等行变换解：35则 线性无关，从而为V的一组基.又由B知，A的列向量线性无关，从而 线性无关. 故 为 的一组基.36作业n习题 8（1）（2）n习题 13n习题 1737
