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1、北京交通大学北京交通大学 2013 年非数学专业年非数学专业大学生大学生数学竞赛试题数学竞赛试题 （2013 年 6 月 22 日晚 7：009：30） 学院与班级 学号 姓名 联系方式 一一、填空题（每小题填空题（每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分） 1极限极限)21ln(2ecoslim2202xxxxxx+= 。 2设函数),(yxu的所有二阶偏导数都连续，xxxuyu xu=)2 ,(2222 且，2 1( ,2 )u xxx=，则11( 2 )uxx，= 。 3设( )f x在0x =的某个邻域内具有二阶导数，(0)1,(0)0,(0)1fff= ，对(,)a +，求limx
2、xafx+ = 。 4计算定积分计算定积分()+02d e1exxxx = 。 52 21 (1)2nnn=。 6计算=+ yxyxxyyxDdd1)1ln()( _，其中区域D由直线1=+ yx与两坐标轴所围成三角形区域. 二、 （本题满分 10 分）设函数 f (x)具有二阶连续导函数，且0)0(, 0)0(, 0)0( =fff。在曲线 y = f (x)上任意取一点)0)(,(xxfx作曲线的切线，此切线在 x 轴上的截距记作，求)()(lim 0xfxfx。 三 （本题满分 10 分）计算+= LyxxyxxyIdd，其中 L 为1=+yxx正向一周。 四、 （本题满分 10 分）计
3、算曲面积分 =xdxdydydzxzIsin2，其中是曲线)21 ( 012 =+=z xzy绕 z 轴旋转而成的旋转面，其法线向量与 z 轴正向的夹角为锐角。 五、 （本题满分 10 分） 设 S 为椭球面122222 =+zyx的上半部分， 点SzyxP),(，为S 在点 P 处的切平面，),(zyx为点)0 , 0 , 0(O到平面的距离，求3( , , )Szx y z dS。 六、（本题满分 10 分） 设21111( )(1 e )e2tF xxtdt= +， 试证明在区间 1 , 1上)(xF有且仅有两个实根。 七、 （本题满分 10 分）设正值函数)(xf在闭区间a,b上连续，
4、=baAxxfd)(，证明： )(d)(1de )()(Aababxxfxxfbabaxf+。 八、 （本题 10 分）设( )f x是在(), +内的可微函数，且( )( )fxmf x =ff，所以当0x时，0)( xf。因此，此直线在 x轴上的截距为 )()( xfxfx=。且0)()(limlimlim 000= xfxfx xxx。 利用泰勒公式将)(xf在00=x点处展开，得到 之间；与在xxfxfxffxf0,)(21)(21)0()0()(12 12 1 = +=。 类似可得：之间与在0,)(21)(22 2ff =。代入得 21 )0()0()0()()()(lim)()()
5、(lim)()()(lim)()(limlim)()(lim )(21)(21lim)()(lim000001202 12 200= + = + = + = = = =fffxfxxfxf xf xxfxf xxf xxfxf x xxfxfxxffxffxxfxfxxxxxxxx 三、解：解：因为 L 为1=+yxx，故 ()=+=DDLyxxyId2d11dd格 格 格 格其中 D 为 L 所围区域， 故Dd为 D 的面积。 为此我们对 L 加以讨论， 用以确定 D 的面积。 当00+yxx且时，0121=+=+yxyxx； 当0格0+yxx时，011=+yyxx； 当0格0+yxx时，0
6、11=+yyxx； 当0格0+yxx时，0121=+yxyxx， 故 D 的面积为 21=2。从而4dd=+= LyxxyxxyI。 四、解：解： 旋转曲面的方程为1222=+zyx。补充曲面 =+, 2, 5:221zyx其法线向量与 z 轴正向相反；和 =+, 1, 2:222zyx其法线向量与 z 轴正向相同。 设由曲面21,所围空间区域为，则 15128 1253)1 (00sinsinsinsinsinsin5321221212252222222222222121= +=+=+=+=+zzdzzzdxdydzzxdxdyxdxdydxdydzzxdxdydydzxzxdxdydydz
7、xzxdxdydydzxzxdxdydydzxzIzyxyxyx五、解：设),(ZYX为上任意一点，则的方程为122=+zZyYxX， 从而知2122244),( +=zyxzyx。 由 +=22122yxz，有 += +=2212,22122222yxy yzyxx xz， 于是 d22124d1d 222222 += + += yxyx yz xzS。 所以()2232220011(x,y,z)d1dd1d22SDzSxyrr r=+=。 六、证明： +=+=+=+=+=+=xtxxtttxxtttxxttttxttxtxtxtxtxtxtdtxdtxdtxdtxdtxdtxdtxdtxd
8、txxxdtxdtxdttxdttdttdtxdtxtdttxxF010100110010110010011111111112222222222222222222222e2ee23 21e2eeee23 21e2eeee23 21ee1e21 1e21ee)e1 (21eeee)e1 (21e)(e)()e1 (21)(由于2ex是偶函数，所以xtdt 02e是奇函数，xtdtx 02e2是偶函数，于是知)(xF为偶函数。 又注意到： 0e25 23e2e21 21e2e21 21) 1 (; 0e23ee23 21)0(101012=+ + +=+=xtxtxxdtdtxxxF， （当 x
9、0 时） 。 因此， 函数)(xF在闭区间0,1上有且仅有唯一一个实根； 又)(xF为偶函数， 所以)(xF在闭区间0 , 1上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数)(xF在闭区间 1 , 1上有且仅有两个实根。 七、证明： )(d)(d)(dd2)( 2)(1ddedde)()(e)()( 21dde)()(dde)()(d)(1de )(22)()( )()()()()(Aababxxfyabyxyfxfyxyxyfxf xfyfyxxfyfyxyfxfyyfxxfbabaDDyfxfDxfyfDyfDxfbabaxf+=+= + +=+左边八、证明：八、证明： ()()112lnlnnnnnaaf af a= 由拉格朗日中值定理得：介于12,nnaa之间，使得 ()()( ) ( )()1212lnlnnnnnff af aaaf= ( ) ( )()112nnnnfaaaaf =， 又( )( )fmf，得( ) ( )fmf 。 1 11210.n nnnnaam aamaa 01m 级数1 10 1nnmaa =收敛，级数1 1nn naa =收敛， 即()1 1nn naa =绝对收敛。
