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1、第五章微分法:积分法:互逆运算不定积分 微分的逆运算二、 基本积分公式 三、不定积分的性质 (运算法则) 一、 原函数与不定积分的概念第一节 原函数与不定积分(直接积分法）第五章 一、 原函数与不定积分的概念定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)满足在区间 I 上的一个原函数 .则称 F (x) 为f (x) 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示,有多少个 ?定理1. 存在原函数 .初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数定理 2. 也是f(x)的原函数 ,( 其中C 为任意常数 )则(2) f(x
2、)的任意两个原函数之间只相差一个常数.定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号; 被积函数; 被积表达式. 积分变量;若则( C 为任意常数 )C 称为积分常数, 不可丢 !例如,记作从不定积分定义可得:或或或者写成：不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线 . 例1（5.1.8）. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解: 所求曲线过点 (1, 2) , 故有因此所求曲线为例2 设曲线通过点(0,0)，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线.
3、解 设所求曲线为y=f(x)，(x,y)为曲线上任一点，由 导数的几何意义和题设条件有 由于sinx是cosx的一个原函数，所以cosx的不定积分是 y=sinx+C.于是所求的曲线族为 代入初始条件x=0,y=0,求得C=0.故经过点(0,0)的积分 曲线为 . 二、 基本积分表利用逆向思维( k 为常数)或或例3. 求解: 原式 =例4. 求解: 原式=三、不定积分的性质推论: 若则例5 求 解 例6 求 .解 例7. 求解: 原式 倍角公式例8. 求解: 原式 例9(5.1.14). 求解: 原式 =例10. 求解: 原式 =例11(5.1.13). 求解: 原式 =加项减项四、内容小结（直接积分法）1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表2. 直接积分法:利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质5. 求下列积分:提示:
