2018年高考数学试题分类汇编——概率统计和排列组合二项式定理

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1、概率统计与排列组合二项式定理概率统计与排列组合二项式定理安徽理安徽理（12）设，则 .()xaa xa xa x L（12)【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.11 20C【解析】，所以101110 102121( 1)aCC 111011 112121( 1)aCC.aaCCCCCC （20） （本小题满分 13 分）工作人员需进入核电站完成某项具有 高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，,p pp,p

2、pp,p pp且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是,q q q,q q q的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；,p ppXEX（）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值ppp（数字期望）达到最小。（20） （本小题满分 13 分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值 等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能

3、力、合情推理与演绎推理，分类读者论 论思想，应用意识与创新意识.解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以)1)(1)(1 (321ppp任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于.)1)(1)(1 (1321133221321321ppppppppppppppp（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量 X 的分布列为321,qqqX123P1q21)1 (qq)1)(1 (21qq所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX 是.23)1)(1 (3)1 (2212121211qqqqqqqqqEX（III） （方法一）由（II）的结论知，

4、当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，.232121ppppEX根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于的任意排列，都有321,ppp321,qqq（*）212123qqqq,232121pppp事实上，)23()23(21212121ppppqqqq. 0)()(1 ()(1 ()(2()()()()(2)()(221211221112221211221121212211qqppqqpqqppqpqpqpqpqpqqppqpqp即（*）成立.（方法二） （i）可将（II）中所求的 EX 改写为若交换前两人的派出顺序，,)(312121qqqqq则

5、变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.,)(312121qqqqq12qq （ii）也可将（II）中所求的 EX 改写为212123qqqq，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序313123qqqq23qq 也可减小均值.综合（i） （ii）可知，当时，EX 达到最小. 即完成任务概率大的人优先派),(),(321321pppqqq出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的. 安徽文安徽文(9) 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（A） (B) (C)

6、(D) （9）D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题. 【解析】通过画树状图可知从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15 个，其中能构成矩形 3 个，所以是矩形的概率为.故选 D.31 155（20） （本小题满分 10 分） 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20022004200620082010需求量（万 吨）236246257276286（）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;ybxa（）利用（）中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。 温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说

7、明. （20） （本小题满分 10 分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对 数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得. 2 . 3, 5 . 640260 4224294192)11()2()21()4(, 2 . 3, 02222xbyabyx由上述计算结果，知所求回归直线方程为, 2 . 3)2006(5 . 6)2006(257 xaxby即 . 2 .260)2006(5 . 6 xy（II）利用直

8、线方程，可预测 2012 年的粮食需求量为（万吨）300（万吨）.2 .2992 .26065 . 62 .260)20062012(5 . 6北京理北京理12.用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)【解析】个数为。42214 17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；8X （2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和9X 数学期望。（注注：方差，其中为，的平均数）2222 121()()(

9、) nsxxxxxxnLx1x2xnx（17） （共 13 分） 解（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为;435 410988x方差为.1611)43510()4359()4358()4358(4122222s（）当 X=9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树 棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 44=16 种可能的结果， 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17，18，19，20，21 事件“Y=17”等价于“甲组选出的同 学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8

10、棵”所以该事件有 2 种可能的结果，因此 P（Y=17）=年份200642024需求量257211101929.81 162同理可得;41)18(YP;41)19(YP.81)21(;41)20(YPYP所以随机变量 Y 的分布列为：Y1718192021P81 41 41 41 81EY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=17+18+19+20+2181 41 41 41 81=19 北京文北京文7某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件，则平均仓储时间为天，8x且每件产品每天的仓储费用为

11、1 元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应 生产产品 B A60 件B80 件C100 件D120 件 16 （本小题共 13 分） 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图 中以 X 表示.（1）如果 X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （2）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率.（注：方差其中为的平均数）,)()()(122 22 12xxxxxxnsnLxnxxx,21L（16） （共 13 分） 解（1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：

12、8，8，9，10， 所以平均数为方差为;435 410988x.1611)43510()4359()4358(412222s（）记甲组四名同学为 A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为 9，9，11，11；乙组四名 同学为 B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为 9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取 一名同学，所有可能的结果有 16 个，它们是：（A1，B1） ， （A1，B2） ， （A1，B3） ， （A1，B4） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A2，B3） ， （A2，B4） ， （A3，B1） ， （A2，B2） ， （A3，B3） ， （A1，B4

13、） ， （A4，B1） ， （A4，B2） ， （A4，B3） ， （A4，B4） ， 用 C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件，则 C 中的结果有 4 个，它们是：（A1，B4） ， （A2，B4） ， （A3，B2） ， （A4，B2） ，故所求概率为.41 164)(CP福建理福建理 6 （1+2x）3的展开式中，x2的系数等于 B A80 B40 C20 D10 13盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个。若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_。3 5 19 （本小题满分 13 分） 某产品按行业生产标

14、准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，8，其中 X5 为标准 A，X为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生 产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I）已知甲厂产品的等级系数 X1的概率分布列如下所示：1x5678P04ab01且 X1的数字期望 EX1=6，求 a，b 的值； （II）为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一 个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2的数学期望（III）在（I） 、 （II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说 明理由注：（1）产品的“性价比”=；产品的零售价期望产品的等级系数的数学（2） “性价比”大的产品更具可购买性 19本小题主要考查概率、统计