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1、中考新题型示例与评析李其明 田 丽(山东枣庄十五中 277100)新世纪初颂布的 全日制九年义务教育数学课程标准 重视促进学生全面、 持续、 和谐地发展.它强调学生的数学学习的内容应当是现实的、 有意义的、 富有挑战性的,这些内容有利于学生主动地进行观察、 实验、 猜测、 推理与交流等数学活动 动手实践、 自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.还强调让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释和应用的过程,让学生在空间想象、 思维能力等方面得到进步和发展.为适应这一理念,近两年全国各地的中考试题出现了许多格调清新、 别具匠心的新题型.1 实践活动型具有实际背景的实践活动型题是近年中考的一
2、个亮点,它不仅要考察考生阅读理解题意,而且具有开放性、 探究性.例1 (2003年北京市中考题)在社会实践活动中,某校甲、 乙、 丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、 三环路、 四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车辆数)三位同学汇报高峰时期时段的车流量情况如下:甲同学说:“二环路车流量为每小时10000辆”;乙同学说:“四环路车比三环路车流量为每小时多200辆”;丙同学说:“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍.” 请你根据他们所提供的信息,求出高峰时期时段三环路、 四环路的车流量各是多少?2 对案例的分析211 本节课的教学目标21111 本课通过精心选题、 创设
3、问题情境,即对课本的习题进行变式探究旨在指导学生构建椭圆相关知识的网络体系.逐步培养学生灵活多变的思维品质和良好的数学素养.21112 让学生轻松走入课堂,在愉快中学习探究,又让学生带着一定的问题走出课堂,这又是本课的目标.为的是让学生在自主学习探究中进一步巩固、 获取知识.培养学生自主参与、 积极交流合作的主体意识和乐于探索、 勇于创新的精神.发展学生的应用意识、 提出问题和解决问题的能力.并从中感悟到科学研究的基本策略和方法,获得科学思想的熏陶.212 本节课的教学模式结构新课程改革的重中之重就是要转变学生的学习方式,而学生学习方式的获取大多是由课堂教学模式决定的.为此,我们提出了高中数学
4、 “变式探索学习教学模式” 的课题研究,依据皮亚杰的新认知结构框图,结合新课程标准所倡导的 “问题情景 建立模型 解释、 应用与拓展” 模式教学的成功经验(为便于操作) ,我们确定其基本教学结构如下:提出问题创设情境问题意识、 提高素质、 培养能力变式探究合作交流归纳拓展综合创新为达到上述的教学目标,本节课就是采用此模式来完成学习内容的.为此,在设计课堂教学内容的呈现方式时,不再沿用解题教学 “从例题到例题,问题圆满解决” 的传统模式,而是以问题链的方式提出本节课要解决的问题和等待解决的问题,真正让学生在自主探究的学习过程中呈现知识产生,发展和应用的过程.由 “点” 成 “串” 自主构建知识网
5、络体系,从而让学生学习情感和学习品质得到升华,发展思维的创新能力.04数学通报 2005年 第44卷 第8期 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.解 设高峰时期时段三环路的车流量为每小时x辆,四环路的车流量为每小时y辆,由题意得3x -y =210000y = x +200解得:x =11000y =13000评析 本题是一次方程(组)的应用题,而条件不是以传统叙述的方法给定,而是通过三位同学通过社会实践活动统计的结果,很有新意,不仅给考生耳目一新的感觉,而且突出体现了数学问题来源于生活的
6、理念.2 新知渗透型培养学生收集信息、 处理信息的能力是素质教育的要求之一,也是 标准 的重要目标之一,是改变学生学习方式,实现自主探索、 主动发展的基础.这类题在题目中给出学生没有遇到的新知识或通过新的规定创设出新的问题情景,包括对新概念进行定义、 对新知识、 方法、 技能进行阐述,要求学生边看题边学习新内容,然后用新知识、 新方法、 新技巧解题,主要考察学生接受新事物,获取新信息、 加工新信息的能力和科学的数学素养.例2 (2002年十堰市中考题)有A1, A2, A3三个舞蹈演员在舞台上跳舞,面对观众作队形排列变化,其变化规律是:一个舞蹈演员A1跳舞,面对观众作队形排列变化的种数是A1为
7、一种;二个舞蹈演员A1,A2跳舞,面对观众作队形变化的种数是A1A2;A2A1为2种即12种;三个舞蹈演员A1,A2, A3跳舞,面对观众作队形排列变化的种数是A1A2A3;A1A3A2; A2A1A3;A2A3A1;A3A1A2;A3A2A1为6种123种;请你猜测:(1)四个舞蹈演员A1, A2,A3, A4跳舞,面对观众作队形排列变化的种数是种.(2)六个舞蹈演员跳舞按照上述方法作队形排列变化种数是种. (用科学记数法表示) .(3)用1,2,3,4,5,6,7共7个数字排列7位数的电话号码(在同一个电话号码内每个数字只能用一次)可能排成个电话号码.评析 此题出自高中 “排列” 内容,题
8、材新颖,学生面对的不是枯燥、 单调的数字,而是很熟悉的生活背景,要求学生在反复阅读,透彻理解题意的基础上综合题目所提供信息,进行分析解答,主要考查学生用数学观念、 方法去审视,发现事物的本质属性和内在规律,从而获取新知识,新信息的迁移能力.答案为:(1)24; (2)712102; (3)5040.3 评分加分型标准 强调对学生的评价应多元化,发挥评价的激励作用.考试的评价方式也逐步改革与创新,评分、 加分题就是一类,它是指评分标准写在试题中,评分标准灵活、 新颖,有的题你答得好,就给你另外加分,还可以超过本题的满分值,这样的题型可以激励学生使他们尽情地发散思维,使他们的创造力得到淋漓尽致地发
9、挥,这是一种灵活的、 带有激励性的评价方式,它打破了 “标准” 答案唯一的僵硬的评卷模式,并对有创意的考生适当加分来褒扬学生的创新精神.图(1)例3 (2002年徐州市中考题)如图(1) ,把边长为2的正方形剪成4全等的直角三角形拼成符合下列要求的图形(全部用上,互不重叠且不留空隙) ,并把你的拼法按实际大小画在方格纸内(1 cm1 cm) .(1)不是正方形的菱形(一个) ;(2)不是正方形的矩形(一个) ;(3)梯形(一个) ;(4)不是矩形和菱形的平行四边形(一个) ;(5)不是梯形和平行四边形的凸四边形(一个) ;(6)与以上画出的图形不全等的其它凸四边形(画出图形互不全等,能画几个画
10、几个,多画一个多得1分) .评分标准:(1)(5)中每画出一个得1分.(6)以上图形没有出现在(1)(5)题中的,任意画出一个加1分,每再多画一个得1分,此题满分8分,按上面的评分标准实际得分可以超过8分.评析 凡想象力较强的同学可很快得出正确答案;抽象思维能力不强而平时数学学习中有动手操作习惯的学生,就可能利用草稿纸裁成符合条件的三角形进行拼凑,化抽象为直观,结果会发现,把几个全等的三角形,采用不同的拼法,得出各种各样的结果,这正是数学的丰富多彩.这类拼图题,集观察、 操作、 实验、 分析、 归纳、 类比、 想象、 推理为一体,充满着开放性和探索性,是培养同学们数学实践能力和创新能力的一种好
11、题型,值得重视.142005年 第44卷 第8期数学通报 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.答案略.4 实验操作型数学试验操作型充分体现了 标准的基本理念,体现了素质教育的基本要求.它以数学试验为基本框架进行设计,需要考生通过操作、 观察、 猜想、 验证、 证明等数学活动来完成解题.这种试题在考查学生动手操作、 探索研究能力方面有独特作用,同时这种试题也是学生学习数学的研究方法,培养创新精神和实践能力的好题型.图(2)例4 (2003年连云港中考题)(1)操作与证明:如图(2) ,O是边
12、长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长、 圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处,并将纸板绕O点旋转,求证:正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.(2)尝试与思考:如图,将半径足够长扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边的中心O点处,并将纸板绕O点旋转,当扇形纸板的圆心角为时,正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a;当扇形纸板的圆心角为时,正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.(3)探究与引申:一般地,将一块半径足够长扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处,并将纸板绕O点旋转,当扇形纸板的圆心角为时,正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值
13、a ,这时,正n边形的边被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明) ;若不是定值,请说明理由.答案 (1)证明略. (2)120;72(3)360 n;正n边形的边被纸板覆盖部分的面积是为定值.评析 本题是一道设计独特的好题,命题者将它设计成数学实验题,让学生在亲自操作中获取知识,并把正方形推广到正三角形和正五边形,进而引申到任意正多边形中去,体现了从特殊到一般的研究数学问题的方法,有效地考察了学生的动手操作、 观察、 猜想、 归纳、 探究等方面的能力.5 探索研究型研究性学习是一种新型的学习方式,要求创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生通过
14、自主探索与合作交流获取知识.这是 标准 所倡导的一种学习方式,由这种方式引发了研究型试题.这种题型背景宽广,求解方式不同于一般性试题,应试者不仅要有扎实的数学基础知识还应有分析问题和解决问题的应变能力.例5 (2003年济南市中考题)某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象的性质的问题时,发现了两个重要结论:一是发现抛物线y = ax2+2x +3( a0)当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是当实数a变化时,若把抛物线y =ax2+2x +3( a0)的顶点的横坐标减少1 a,纵坐标增加1 a,得到A点的坐标.若把顶点的横坐标增加1 a,纵坐标增加1 a,得到B点的坐标,则A ,
15、B两点一定仍在抛物线y = ax2+2x +3上.(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y= ax2+2x +3的顶点所在直线的解析式.(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它吗?并说明理由.(3)在他们第二个发现的启发下,运用 “一般 特殊 一般” 的思想,你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.评析 研究问题,发现结论,探求规律,证明猜想是研究性学习考题的一大特点,它强调探究、 发现,鼓励创新.如本题是一次函数与二次函数的综合题,背景新颖、 设计独特,主要围绕二次函数及其图象的有关问题,发现两个重要结论,并提出
16、三个问题,让学生开展探究活动.答案 (1)抛物线y = ax2+2x +3的顶点在直线y = x +3上.(2)点(0,3)不是该抛物线的顶点.(3)猜想:对于抛物线y = ax2+ bx + c( a0) ,将其顶点的横坐标增加或减少1 a,纵坐标增加24数学通报 2005年 第44卷 第8期 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.1 a,所得的两个点一定仍在抛物线上. (其他猜想,只要合理同样得分)6 创新设计型创新意识的激发,创新思维的训练,创新能力的培养是素质教育中最具活力的课题,也是 标准的重要目标之一.标准 还指出学生的学习应是现实的、 有趣的、 富有挑战性的,这些内容有利于学生主动地 ,要求结合学生的生活实际(诸如生活中的测量、 方案最优化设计等问题) ,从数学的角度发现、
