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1、新课标 数 学选修 1211 回归分析的基本思想及其初步应用(教师用书独具)三维目标1知识与技能通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确解决回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析以解决实际应用问题了解最小二乘法的推导，解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想，了解判断刻画模型拟合效果的方法相关指数和残差分析掌握利用计算器求线性回归直线方程参数及相关系数的方法2过程与方法通过收集数据作散点图，分析散点图，求回归直线方程，分析回归效果，利用方程进行预报3情感、态度与价值观培养学生利用整体的观点和互相联系的观点来分析问题， 进一步加强数学的应用意识，培养学
2、生学好数学、用好数学的信心，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相互关系重点难点重点：回归分析的基本方法、随机误差 e 的认识、残差图的概念、用残差及 R2 来刻画线性回归模型的拟合效果难点：回归分析的基本方法、残差概念的理解及拟合效果的判定、非线性回归向线性回归的转化教学时要以残差分析为重点，突出残差表和 R2 的计算，通过举例说明相关关系与确定性关系的区别，说明回归分析的必要性及其方法借助例题使学生掌握作散点图、求回归直线方程的方法，通过作残差图、计算 R2 让学生掌握拟合效果的判断方法对于非线性回归问题重点在如何转换，引导学生分析总结转化方法和技巧，从而化解难点(教师用书独具
3、)教学建议 本节课建议教师采取探究式教学，把“关注知识”转向“关注学生” ，在教学过程中，把“给出知识”的过程转变为“引起活动，让学生探究知识的过程” ，把“完成教学任务”转向“促进学生发展” ，让学生成为课堂上的真正主人在教学中，知识点可由学生通过探索“发现” ，让学生充分经历探索与发现的过程，并引导学生积极解决探索过程中发现的问题教学中不要以练习为主，而是定位在知识形成过程的探索，例题的解答也要由学生探讨、教师点拨，共同完成要注重数学的思想性，如统计思想、随机观念、函数思想、数形结合的思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理能力教学流程创设问题情境，引出问题，引
4、导学生探讨，从而引出回归分析、线性回归模型、刻画回归效果的有关概念及解决方法利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解引导学生在学习基础知识的基础上分析回答例题 1 的问题，并总结规律方法，完成变式训练引导学生分析例题 2，根据图中的数据计算系数，求出回归方程，列出残差表，求出 R2 并判断拟合效果，完成变式训练完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法，并进行反馈矫正 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法通过老师启发引导，完成例题 3，并要求学生借鉴例题 3 的解法完成变式训练 引导学生分析例题 3，让学生作出散点图，观
5、察相关性，引出问题，即如何使问题转化为相关关系并用线性回归分析二者关系课标解读1.会用散点图分析两个变量是否存在相关关系 (重点)2会求回归方程，掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型(重点、难点)线性回归模型【问题导思】一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：转速 x(转/秒) 16 14 12 8每小时生产有缺陷的零件数 y(件)11 9 8 51.在平面直角坐标系中作出散点图【提示】2从散点图中判断 x 和 y 之间是否具有相关关系？【提示】 有3若转速为 10 转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？【提示】 可以根据散点 图
6、作出一条直线，求出直线方程后可预测(1)回归直线方程： x ，其中：y b a ， ， i，b ni 1xi xyi yni 1xi x2 a y b x x 1nni 1x i.y1nni 1y(2)变量样本点中心：( ， )，回归直线过样本点的中心x y(3)线性回归模型：y bxae，其中 e 称为随机误差 ，a 和 b 是模型的未知参数，自变量 x 称为解释变量 ，因变量 y 称为预报变量刻画回归效果的方式残差对于样本点 (xi，y i)(i1,2，n)的随机误差的估计值iy i i，称为相应于点 (xi，y i)的残差e y 残差图利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可
7、以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高残差平方和 残差平方和为 (yi i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好ni 1 y 相关指数 R2R21 ，R 2 表示解释变量对预报变量变化的贡献率，ni 1yi y i2ni 1yi y2R2 越接近于 1，表示回归的效果越好回归分析的有关概念有下列说法：线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；通过回归方程
8、x ，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；y b a 因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验其中正确命题的个数是()A1B2C3D4【思路探究】可借助于线性相关概念及性质逐一作出判断【自主解答】反映的正是最小二乘法思想，故正确反映的是画散点图的作用，也正确解 释的是回归方程 x 的作用，故也正确 是不y b a 正确的，在求回归方程之前必 须进行相关性检验，以体现两变量的关系【答案】C1解答例 1 中时，必须明确具有线性相关关系的两个变量间才能求得一个线性回归方程，否则求得的方程无实际意义因此必须先进行线性相关性判断，后求线性回归方程2回归分析的过程：(1)
9、随机抽取样 本，确定数据，形成样本点；(2)由样本点形成散点 图，判断是否具有线性相关关系；(3)由最小二乘法确定线性回归方程；(4)由回归方程 观察变量的取值及变化趋势关于变量 y 与 x 之间的回归直线方程叙述正确的是()A表示 y 与 x 之间的一种确定性关系B表示 y 与 x 之间的相关关系C表示 y 与 x 之间的最真实的关系D表示 y 与 x 之间真实关系的一种效果最好的拟合【解析】回归直线方程能最大可能地反映 y 与 x 之间的真实关系，故选项 D 正确【答案】D线性回归分析已知某种商品的价格 x(元)与需求量 y(件)之间的关系有如下一组数据：x 14 16 18 20 22y
10、 12 10 7 5 3求 y 关于 x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏【思路探究】回归模型拟合效果的好坏可以通过计算 R2 来判断，其 值越大，说明模型的拟合效果越好【自主解答】 (14 16182022) 18，x15 (1210753)7.4，y1514 2 16218 220 222 21 660，5i 1x2iiyi14121610 187205223620，5i 1x所以 1.15，b 620 5187.41 660 51827.41.151828.1，a 所以所求回归直线方程是 1.15x28.1.列出残差表：y yi iy 0 0.3 0.4 0.1 0.2yi
11、y 4.6 2.6 0.4 2.4 4.4所以 (yi i)20.3， (yi )253.2，5i 1 y 5i 1 yR21 0.994，5i 1yi y i25i 1yi y2所以回归模型的拟合效果很好1回归直线方程能定量地描述两个变量的关系，系数 ， 刻画了两个变量a b 之间的变化趋势，其中 表示 x 变化一个单位时， y 的平均变化量利用回归直线b 可以对问题进行预测，由一个 变量的变化去推测另一个变量的变化2线性回归分析中：(1)残差平方和越小，预报精确度越高(2)相关指数 R2 取值越大，说明模型的拟合效果越好某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数(x) 30 33
12、35 37 39 44 46 50成绩(y) 30 34 37 39 42 46 48 51(1)作出散点图；(2)求出线性回归方程；(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果；(4)计算 R2，并说明其含义【解】(1)作出 该运动员训练次数(x )与成绩(y)之间的散点图，如图所示(2)可求得 39.25， 40.875， 12 656，x y8i 1x2i13 731 ， iyi13 180，8i 1y2i8i 1x b 8i 1xi xyi y8i 1xi x2 1.041 5，8i 1xiyi 8x y8i 1x2i 8x2 0.003 875，a y b x线性回 归方程为 1.041
13、5x0.003 875.y (3)作残差图如 图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适(4)相关指数 R20.985 5.说明了该运动员的成绩的差异有 98.55%的可能性是由训练次数引起的.非线性回归分析下表为收集到的一组数据：x 21 23 25 27 29 32 35y 7 11 21 24 66 115 325(1)作出 x 与 y 的散点图，并猜测 x 与 y 之间的关系；(2)建立 x 与 y 的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报 x40 时 y 的值【思路探究】(1)画出散点图或进行相关性检验，确定两变量 x、y 是否线性
14、相关由散点图得 x、y 之间的回归模型(2)进行拟合，预报回归模型，求回归方程【自主解答】(1)作出散点图如图，从散点图可以看出 x 与 y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以 发现样本点分布在某一条指数函数曲线 yc 1ec2x的周围，其中 c1、c2为待定的参数(2)对两边取对 数把指数关系变为线性关系，令 z ln y，则有变换后的样本点应分布在直线 zbxa， aln c1，bc 2 的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立 y 与 x 之间的非线 性回归方程了，数据可以转化为：x 21 23 25 27 29 32 35z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190
15、 4.745 5.784求得回归直线方程为 0.272x3.849，z e 0.272x3.849 .y 残差如下表：yi 7 11 21 24 66 115 325iy 6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325ie 0.557 0.101 1.875 8.950 9.23 13.381 34.675(3)当 x40 时，y e 0.272x3.849 1 131.两个变量不具有线性关系，不能直接利用 线性回 归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转 化为线性回归模型，如 yc 1ec2x，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令 zln y，则变换后样本点应该分布在直线zbx a(a ln c1，bc 2)的周围有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：i 1 2
