力系的等效与简化

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1、 1 第 2 章 力系的等效与简化 作用在实际物体上的力系各式各样， 但是， 都可用归纳为两大类： 一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内， 这类力系称为平 面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为 空间力系。 这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。 同一类力 系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作 用效应。在就是前一章中提到的力系等效的概念。 本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展， 引入 力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用 力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。 力系简化理论与 方法将作为分析

2、所有静力学和动力学问题的基础。 2- 1 力系等效定理 2 - 1 - 1 力系的主矢和主矩 2 - 1 - 2 力系等效定理 2- 2 力偶与力偶系 2 - 2 - 1 力偶与力偶系 2 - 2 - 2 力偶的性质 2 - 2 - 3 力偶系的合成 2- 3 力系的简化 2 - 3 - 1 力向一点平移定理 2 - 3 - 2 空间一般力系的简化 2 - 3 - 3 力系简化在固定端约束力分析中的应用 2 2- 4 结论和讨论 2 - 4 - 1 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及 主矩矢的矢量性质 2 - 4 - 2 关于合力之矩定理及其应用 2 - 4 - 3 关于力系简化的最后结果

3、2 - 4 - 4 关于实际约束的简化模型 2 - 4 - 5 关于力偶性质推论的应用限制 习 题 本章正文 返回总目录 3 第 2 章 力系的等效与简化 2 - 1 力系等效定理 物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点 的角动量。 物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力； 角动量对时间的 变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。 这里的合外力， 实际上只有大小和方向， 并未涉及作用点或作用线。 因而， 需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和 主矩。 2 1 1 力系的主矢和主矩 主矢：一般力系（F1，F2，Fn）中

4、所有力的矢量和（图 21） ，称为力系的主矢量， 简称为主矢（principal vector） ，即 =nii 1RFF (21) 图 21 力系的主矢 其中 FR为力系主矢；Fi为力系中的各个力。式（21）的分量表达式为 =niiyyniiyyniixxFFFFFF1R1R1R(22) 主矩：力系中所有力对于同一点之矩的矢量和（图 22） ，称为力系对这一点的主矩 （principal moment） ，即 () =niiiniiOO 11FrFMM (23) 主矩的分量式为 4 ()()()=niiOzOzniiOyOyniiOxOxMMMMMM111FFF(24) 力系的主矢不涉及作用

5、点，为滑动矢；力系的主矩与所选的矩心有关，在是因为同一个 力对于不同矩心之矩各不相同，主矩为定位矢。 2 1 2 力系等效定理 前已指出， 所谓力系等效是指不同的力系对于同一物体所产生的运动效应是相同的， 即： 不同的力系使物体所产生的线动量对时间的变化率以及角动量对时间的变化率分别对应相 等。 亦即： 不同力系的主矢以及对于同一矩心的主矩对应相等。 据此， 得到如下的重要定理： 等效力系定理（theorem of equivalent force systems）不同的力系对刚体运动效应相同 的条件是不同力系的主失以及对于同一点的主矩对应相等。 2 - 2 力偶与力偶系 2 - 2 - 1

6、力偶与力偶系 大小相等、方向相反、作用线互相平行但不重合的两个力所组成的力系，称为力偶 （couple） 。力偶是一种最基本的力系，但也是一种特殊力系。 力偶中两个力所组成的平面称为力偶作用面（acting plane of a couple） 。 力偶中两个力作 用线之间的垂直距离称为力偶臂（a r m o f a c o u p l e ） 。 工程中力偶的实例是很多的。 图 2- 2 力偶实例 驾驶汽车时， 双手施加在方向盘上的两个力， 若大小相等、 方向相反、 作用线互相平行， 则二者组成一力偶。这一力偶通过传动机构，使前轮转向。 图 2- 2 所示为专用拧紧汽车车轮上螺母的工具。 加

7、在其上的两个力1F和2F， 方向相反、 作用线互相平行，如果大小相等，则二者组成一力偶。这一力偶通过工具施加在螺母上，使 螺母拧紧。 由两个或者两个以上的力偶所组成的力系，称为力偶系(system of the couples)。 2 - 2 - 2 力偶的性质 作用在物体上的力偶将使物体产生什么样的效应？这些效应又如何量度？回答这些问5 题，首先要看所研究的物体的性质，或物体的模型刚体还是弹性体。本章仅研究作用在刚 体上的力偶的基本性质。 性质 I 力偶没有合力。 力偶虽然是由两个力所组成的力系， 但这种力系没有合力。 这是因为力偶的主矢 FR0。 因为力偶没有合力，所以力偶不能与单个力平衡

8、，力偶只能与力偶平衡。 性质 力偶对刚体的作用效应，是使刚体转动。力偶矩矢量是力偶使刚体产生转动效 应的量度。 图 2- 3 力偶矩矢量 考察图 2- 3 所示之由F和F组成的力偶（F，F） ，其中F= F。O点为空间的 任意点。力偶（F，F）对O点之矩定义为 MO =21iMO（Fi）=rA F+rBF =（rA - rB） F= rBA F （25） 其中 rBA为自 B 至 A 的矢径。 读者可以任取其它各点， 也可以得到同样结果。 这表明： 力偶对点之矩与点的位置无关。 于是，不失一般性，式（2- 5）可写成 M=rBA F （26） 其中的 M 称为力偶矩矢量（moment vect

9、or of a couple） 。 不难看出，力偶矩矢量只有大小和方向，与力矩中心 O 点无关，故为自由矢。 根据力偶对刚体的转动效应，除了用两个力（F,F）和力偶矩矢量 M 表示外，还可以用力偶作用面内的旋转箭头表示，如图 24 所示。 图 2- 4 力偶在平面内的符号 根据力偶的基本性质，可以得到两个推论： 推论 I 只要保持力偶矩矢量不变， 力偶(图 25a)可在其作用面内任意移动和转动(图 2 5b、c)，也可以连同其作用面一起、沿着力偶矩矢量作用线方向平行移动(图 25d),而不 会改变力偶对刚体的运动效应。 6 图 2 5 由力偶基本性质得到的推论 推论 只要保持力偶矩矢量不变，可

10、以同时改变组成力偶的力和力偶臂的大小，而不 会改变力偶对刚体的作用效应(图 25e)。 有兴趣的读者，可以应用力偶的基本性质，对这两个推论加以证明。 2 - 2 - 3 力偶系的合成 由于对刚体而言，力偶矩矢为自由矢量，因此对于力偶系中每个力偶矩矢，总可以平移 至空间某一点。从而形成一共点矢量系，对该共点矢量系利用矢量的平行四边形法则，两两 合成，最终得一矢量，此即该力偶系的合力偶矩矢，用矢量式表示为 MR = M1 + M2 + Mn =ni 1Mi （27） 2 - 3 力系的简化 所谓力系的简化，就是将由若干力和力偶所组成的一般力系，变为一个力，或一个力 偶， 或者一个力和一个力偶的简单

11、的、 但是等效的情形。 这一过程称为力系的简化( r e d u c t i o n o f a f o r c e s y s t e m ) 。力系简化的基础是力向一点平移定理。 2 - 3 - 1 力向一点平移定理 作用在刚体上的力如果沿其作用线移动，并不会改变力对刚体的作用效应。但是，如果 将作用在刚体上的力从其作用点平行移动到另一点，对刚体的运动效应将会发生改变。 能不能使作用在刚体上的力从一点平移至另一点， 而使其对刚体的运动效应保持不变？ 答案是肯定的。 7 图 2- 6 力向一点平移定理 考察图 2- 6a 所示之作用在刚体上 A 点的力 FA，为使这一力等效地从 A 点平移至

12、 B 点， 先在 B 点施加平行于力 FA的一对大小相等、 方向相反、 沿同一直线作用的平衡力AF 和AF，如图 2- 6b 所示。根据加减平衡力系原理，由 FA、AF、AF 三个力组成的力系与原来作用 在A点的一个力 FA等效。 图 2- 6b 中所示之作用在A点的力 FA与作用在B点的力AF 组成一力偶， 其力偶矩矢量 为 M=rBA FA，如图 2- 6c 所示。 于是，作用在B点的力AF和力偶 M 与原来作用在A点的一个力 FA等效。 读者不难发现，这一力偶的力偶矩等于原来作用在A点的力 FA对B点之矩。 上述分析结果表明： 作用在刚体上的力可以向任意点平移， 平移后应为平移后的这一力

13、 与一力偶所替代， 这一力偶的力偶矩等于平移前的力对平移点之矩。 这一结论称为力向一点 平移定理（theorem of translation of a force） 。 2 - 3 - 2 空间一般力系的简化 考察作用在刚体上的空间任意力系（,21FFnF,） （three dimensional forces system） ，如图 2- 7a 所示。现在刚体上任取一点，例如O点，这一点称为简化中心(reduction center)。 应用力向一点平移定理，将力系中所有的力,21FFnF,逐个向简化中心平移，最后 得到汇交于O点的， 由,21FFnF,组成的汇交力系， 以及由所有附加力偶

14、,21MM ,nM组成的力偶系，如图 2- 7b 所示。 图 2- 7 任意力系简化 平移后得到的汇交力系和力偶系，可以分别合成一个作用于O点的合力 FR，以及合力 偶OM，如图 2- 7c 所示。其中 FR= =ni 1Fi OM=ni 1Mi=ni 1OM（Fi） 其中OM（Fi）为平移前力 Fi对简化中心O点之矩。 上述结果表明：空间任意力系向任- - 点简化, 得到一个力和一个力偶。简化所得到力通 过简化中心， 其力矢称为力系的主矢， 它等于力系中诸力的矢量和并与简化中心的选择无关； 简化所得到的力偶的力偶矩矢， 即为力系对简化中心的主矩， 它等于力系中所有的力对简化 中心之矩的矢量和

15、，且与简化中心的选择有关。 有兴趣的读者可以证明，力系对不同点（例如图 28 中的O点和A点）的主矩存在下 列关系： ()( )FFrFABABMM=+（29） （28） 8 图 2- 8 力系对不同点的主矩关系的证明 【例 2- 1】图 2- 9 中所示为 F1、F2组成的空间力系，试求力系的主矢 FR以及力系对O、 A、E三点的主矩。 图 2- 9 例 2- 2 图 解：令 i、j、k 为 x、y、z方向的单位矢量，则力系中的二力可写成 jiF431+= ，jiF432= 于是，力系的主矢为 FR =+=21621iiFFFi 这是沿x轴正方向，数值为 6 的矢量。 应用式（2- 8）以及矢量叉乘方法，力系对 O、A、E 三点的主矩分别为： MO=21iMO（Fi） =21iiiFr2211FrFr+= )43(4)43(3jijjik+=kji12912+ MA =+=21243340iACiij)i(k)j(FrFrkji12912= =+=2121 iECEAiiEFrFrFr