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1、第15卷 第5期Vol . 15 No. 5控 制 与 决 策CON TROL A N D D ECIS ION 2000年9月Sept.2000基于非完整移动机器人动态模型的鲁棒输出跟踪3胡终须 胡跃明 毛宗源(华南理工大学自动控制工程系 广州 510641)摘 要 提出一种基于非完整移动机器人动态模型的鲁棒跟踪控制算法。在系统存在模型不确定性但满足 “匹配条件” 的情况下,设计了一种滑动控制器。仿真结果表明,当系统的质量、 转动惯量、 结构参数等存在较大误差时仍能实现精确跟踪,具有良好的鲁棒性。关键词 移动机器人,匹配条件,输入2输出线性化,变结构控制分类号 TP 24RobustOutp
2、ut Tracking Control Based on the Dynam icalM odel of Nonholonom icM obile RobotsH u Zhongx u,H u Yuem ing,M ao Zongyuan(South China U niversity of Technology)Abstract The robust output tracking control problem of a class of nonholonom ic control system w ithmodel uncertainties is i mplemented by I?O
3、 linearization. A sliding mode controller is designed. W hen asuitable base for null space of the constraint matrix is selected, kinds of uncertainties or disturbancesw ill obey the“matching conditions”and the I?O linearization can be realized by an appropriate outputfunction.Finally a detained robu
4、st output tracking control law for a mobile robot is presented as anapplication example.Key words mobile robot, matching condition, I?O linearization, variable structure control1 引 言滑模控制是一种适用于系统存在不确定性或未建模动力学的鲁棒控制方法。它对参数误差和扰动具有鲁棒性且容易实现,因而经常应用于不确定系统特别是非线性不确定系统的控制问题13。非线性系统特别是具有不确定性的非线性系统,其滑动控制器的设计往往比较
5、困难,一种可供选择的方法是定义一个适当的输出函数,当系统中的不确定项满足 “匹配条件” 时,可以实现系统的输入2输出线性化。 进一步,当系统的内动态模型是有界输入有界稳定时(B I BS),则可在此线性化模型的基3 国家863计划项目(9805219)1999- 07- 27收稿, 1999- 10- 25修回础上方便地设计滑动控制器4。本文考虑一类具有参数或模型不确定性的非完 整控制系统的输出跟踪问题,经过适当变换和输出 函数的选择,可使某些不确定性(如质量、 转动惯量、 摩擦项等)满足 “匹配条件”,从而实现输入2输出线性化。在此基础上设计的滑动控制器能克服上述不 确定项的影响,具有良好的
6、鲁棒性。 最后以两轮驱动 的移动机器人为例,验证了该方法的有效性。2 非完整控制系统的一般形式具有一阶非完整约束的非完整力学系统通常 表示为M(q)q+Vm(q,q)q+F(q) +G(q) +d=B(q)T-AT(q)(1)A(q)q= 0(2)其中,qRn为系统状态向量,M(q)Rnn为对称 正定矩阵,Vm(q,q)qRnn表示向心力和哥氏力项,F(q)Rn1和G(q)Rn1分别表示表面摩擦 项和重力项。 对于平面移动机器人,G(q) = 0,d为有界的未知扰动和未建模动力学,A(q)Rmn为 约束矩阵,Rm1表示约束力,B(q)Rnr为输 入变换矩阵,T为控制输入向量。 选择一满秩矩阵S
7、(q) =S1(q),Sn-m(q) 为A(q)零空间的一组基,=1,n-m表示新 的控制输入。 经过相应变换,系统(1), (2)可写成q=S(q)= -(STM S)- 1ST(M S+VmS)+(STM S)- 1(-F-d+STBT)(3)实际系统中经常存在一些变化的或不能精确 测量的参数(如质量、 转动惯量等),以及难以确定的扰动项(表面摩擦等)。 选择S(q)使其不包含这些不 确定项,则式(3)可写成q=S(q) =f(q,) +f(q,) +G(q) +G(q) T(4)3 输入 2输出线性化和滑动 跟踪控制器的设计考虑一包含不确定项 f(x,t)和 G(x)的多 输入 2多输出
8、非线性控制系统x=f(x) +f(x,t) +G(x) +G(x) uy=h(x)(5)如果不确定项满足 “匹配条件”,则存在状态变换(y, ) =T(x)和控制u=A- 1(v-b),使系统(5)可写 成线性化子系统和内动态子系统的形式y(r)=v+b+AA- 1(v-b) =q(y,)(6)为了设计不确定性系统(5)的滑动跟踪控制 器,使得系统输出y=h(x)跟踪给定轨迹yd(t),定 义滑动函数s=r- 1i= 0cieic r- 1= 0sR2其中,e=y-yd(t)为跟踪误差,ci为使相应的特征多项式具有负实部的系数。 根据滑动模到达条件sTs 0,即sT(v+b+AA- 1(v-b
9、) -y(r) d+r- 2i= 0cie(i+ 1)0(7)参照文献5,得到滑动控制器和增益为u=A- 1y(r) d-r- 2i= 0cie(i+ 1)-ksgn (s) -Lr fh(8)kAA- 1(v-b)+b+ 1 -AA- 1sgn (s) 0(9)4 应用举例将该控制策略应用于两轮驱动移动机器人的 轨迹跟踪问题。 该移动机器人由两台直流伺服电机 独立驱动,其系统方程6可表示为m x=1 R(T1+T2)cos-sinm y=1 R(T1+T2) sin+cosI0=D R(T1-T2)(10)xsin-ycos= 0(11)式(11)为非完整约束,系统(10)和(11)可写成类
10、似 于(1)和(2)的一般形式M(q)q=B(q)T+AT(q)(12)A(q)q= 0(13) 其中q=xy, M=m000m000I0B=1 RcoscossinsinD-D 约束矩阵A= -sin cos 0,驱动电机产生的 控制力矩T=T1 T2T。 选择基向量S(q)为S(q) =cos0sin001(14)按上节方法可将系统表示为如下状态空间的形式xy =cos0sin00112(15)=1 R1?m1?I0D?m-D?I0T(16)600控 制 与 决 策2 0 0 0年其中 =1,2T是辅助控制向量。 显然,运动学方 程(15)不含变化的参数(如R,m,I0),它们都包含 在动
11、力学方程(16)中。 定义系统的输出函数为z1=x+hcosz2=y+hsin(17)控制目标是:在系统存在不确定性的情况下,使输出 函数z=h(x)仍能跟踪给定轨迹。 本文只讨论系统 存在参数不确定性的情形。 系统质量m由于负载的 变化而经常改变,转动惯量I0不能精确测量,车轮 半径R由于与地面的摩擦而磨损,其它如动静态摩 擦项、 未建模动力学等有界不确定项可类似处理。 用 R,m和 I0分别表示系统参数,即车轮半径、 质 量和转动惯量的误差,表示为x+x的形式。 因为 1 x+x=1 x1 -x x(18)将参数误差表示成比率形式 R R=, m m=, I0 I0=(19)式(16)中
12、v=1 Rm1 R I0D Rm-D R I0+1 Rm1 R I0D Rm-D R I00 0T=G+GT(20) 式中 =-和 =-为参数误差 的组合。 系统的输入 2输出线性化结合式(20)表示 成式(5)的形式z 1 z 2=-sin 12-hcos 2 2 cos 12-hsin 2 2+cos-hsin sinhcos(G+G)T=b+(A+A)T(21) 其中A=cos-hsin sinhcos1 Rm1 R I0D Rm-D R I0(22)A=cos-hsinsinhcos1 Rm1 R I0D Rm-D R I000(23)b=-sin 12-hcos 2 2cos 12-
13、hsin 2 2, b= 0(24)由于矩阵A非奇异,按第3节方法容易得到滑动控 制器T=A- 1y d-c0(z-yd) -ksgn (s) -b (25)5 仿真结果假设已知参数误差的上界:Rmax=0. 1R, mmax= 0. 5m,Imax= 0. 4I0。 考虑参考轨迹xd(t) = sint, yd(t) = -cost(26)选择控制参数c0= 4,= 1,给系统加入时变 参数扰动R= 0. 1Rsin (5t) I= 0. 3Rcos(2t) m= 0. 4m(27)数值仿真结果如图1所示。6 结 论本文提出一种基于输入2输出线性化的鲁棒控 制方法。 在系统模型存在参数扰动的
14、情况下,经过适 当变换有可能使其满足 “匹配条件”,进而运用滑动 控制方法设计出一种鲁棒控制器。 仿真结果表明,该 控制器对参数扰动具有很好的鲁棒性,其控制增益是时变的,但控制输入有抖动。为克服控制抖动,可 进一步采用一些平滑方法,如边界层、 动态滑模控 制、 高阶滑模控制等。图1 仿 真 结 果(a) 控制力矩 (b) 位置跟踪 (c) 时变增益(下转第608页)第15卷 第5期胡终须等:基于非完整移动机器人动态模型的鲁棒输出跟踪6013 结 论本文采用输入2状态线性化方法,对Rossler系 统的混沌行为实现了稳化和跟踪,理论分析与仿真结果相符,证实了该方法的有效性。 该非线性控制方 法的
15、提出,为混沌系统的控制提供了一个新的途径。 该控制方法具有如下优点: 1)控制方法容易实现;2)能有效地实现系统的全局稳定; 3)能对不稳定 的平衡点和希望的周期进行稳态跟踪; 4)最后设计的控制器需要的能量较小; 5)对系统施加控制 后收敛速度极快。 文献5, 6曾用输入2状态线性化方法对改进的Lorenz混沌系统进行控制,但得到的控制u是一种 奇异控制;而本文的方法则避开了这种奇异控制。参 考 文 献1 刘式适,刘式达,谭本馗 1 非线性大气动力学 1 北京:国防工业出版社, 19972 Rossler O E. A n equation for continuous chaos .PhysL ett A , 1976, 57(5): 3973983 Pyragas K.Continuous control of chaos byself2controlling feedback. PhysL ettA , 1992, 170(6): 4214284 Slotine J J E, L iW. Applied nonlinear control . N ewJersey: Prentice Hall, 19915
