半封闭矩形海湾中潮波反射问题及摩擦的影响

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1、第1 0卷第3期108 5年5月海A CTA洋学OC EA N O L OGICA报S INIC AVol.1 0,No.3May,195 8半封闭矩形海湾中潮波反射问题及摩擦的影响赵进平侍 茂崇(山东海洋学院物理海洋与海洋气象系,青岛)摘要本文严格求解了半封闭矩 形海湾中潮波运动的解析解,该解对潮波的描 述与其观测特征 和前人的研究成果一致.我们利用求解的结果、阐明 了开尔文波复反射系数的物理意义,讨论 了反射开尔文波的位相滞后规律,并初步解释了位相滞后 的原 因.其次,我们发现,对于无摩擦的反射过程,产生的Po in car6波 族 是由两组具有不 同初相的波组成的,这 两个初相恰好相差9

2、 0.最后,对于考 虑底摩擦作用的情形,讨论 了摩擦对各波波幅与位相的影响.对于一端封闭的矩形海湾中潮波运动的研究称为Tayl or间题.这种海湾中潮波的主要运动形式是入射的和反射的开尔文波的迭加,在足够大的海湾 中则形成旋转潮波系统.但是,开尔文波解在湾底不满足法向流速为零的边界条件,说明湾底 的作用 必将生成其他形式的运动,因此Ta ylo r间题要研究湾底的作用所生成的运动的数学形式和物 理机制.从海湾的形状可 以推断,湾底作用的结果可由Pn ca r乙波解的形式来表达.由于解的待定系数无法用规范化的方法确定,较早的研究一般致力于解的数学形式的探讨.Taylo r选用Fou ri“r级数

3、构造了无耗散的潮波解析解.D“f a n t 用排列法得出了与Tayl or相同的结果”.陈宗铺用与Taylo r相似的方法构造了考虑底摩擦作用的解,从而阐明了无潮点位置偏离海湾轴线的原 因3.进一步的研究可以得出Po in ca r6波解的准确形式,而且确定了只能存在一族自湾底 向外传播的Po in ca r6波.Br own成功地用配置法(co llo ca tion )解决了系数的计算问题,获得了无耗散的潮波解“.R ien ecker和Te ubn er将 配 置法归类于权函数法的一种特殊情况,求解了有耗散的潮波问题,得出了复数形式的解,并对各种方法作了比较5.Ka ng将配置法扩展到

4、湾底不完全封闭的情形,并用以研究黄海的潮波问题.由于配置法不是解析方法,因而解的系数不能用 函数形式表达出来,所以,前人的工作对各系数的物理意义及其变化规律,以及底摩擦 的作用研究不多,后面可以看到,这些本文于1986年1。月2 3日收到,修改稿于1986年1 2月3 0 日收到,海洋学报1 0卷系数的意义非常重要,包含着Tayl or间题的主要特征.本文拟对这些 问题加以讨论.潮波的解析解为了便于讨论,需要一个严格的、考虑底摩擦作用 的解析解,这种解迄今未见给出.我们首先进行这一工作.取直角坐标系如图1所示,矩形海湾长为。,宽为b.考虑底摩擦作用的二维线性浅水方程组 为登一,一。一 斋一“一

5、贵一+,一。斋一“一(1)|l |、|e sl/图1海湾地形及坐标系的选取日乙at/刁ua” 石二一十花万丁j 、C汤少/.1 -/ 一十月其中,。和。分别为二和夕方向的流速分量,/ 为科氏参量,夕为重力加速度,h为水深,之为海面高度,k为底摩擦系数.边界条件为“二o,在戈=0处;”二o,在y。和y二b处.(2 )对Poin ear色波还要有u,”,雪,有限,当戈” c o.(2)设某一分潮 的角频率为a,令互(劣,夕,t)=雪二(二,夕)e“,、“(x,r)一。K(二,)e。,(3)”(劣,y,t)=”二(戈,y、e。.代入式(l ),可得描写 开尔文波运动的潮波方程日亡、,刁亡二._,。一

6、石万了一十-花刃而一一r一K=U。C西口少(4)其 中,2_红旦i红士些犷土工竺 一cZ(i+拜)(5)满足条件(2 )的 开尔文波解为 (见文献 7)乙、=雪。e xPb、士又a+a,)仁y一万一)土L户+户,)戈(6)式中,大了立 通立立 2(1+拼)。一二、/亚五二二工.2(1+拼):,_二、/ 夕.C(7) 丫1十拼2一1 一 毛。_二了C了1+拼2+123期赵进 平等:半封闭矩形海湾中潮波反射问题及摩擦的影响雪。为点 (o,b/2)处 的波 幅,。一了g互为重 力波速,拌一k/a.开尔文波解 不满足 湾底 的边界条件,边界的作用使两个底角在 反射过程中发射Po in ca -r色波“

7、.可以证明,只有频率与开尔文波相同的Po in ca r亡波参与实现湾底的 边界条件,因 此令雪(二,夕,t)=亡,(戈,y)e仃,。(x,y,t)=u,(二,y)e汀,。(戈,y,t)=。,(二,y)e“.代入式 (1 ),可得与式(4 )形势相 同 的Po in ca r己波方程及二列一X刀刁a一,之。(+。,会+,蹂a(f+“)匹:_,日y“,=一夕a(+拼)+fU,=一ga(+户)+fPoin ea r6波解为:,一象C卜9:少了久。a(f+拼)l,51二夕一其 中等几:=士(几,。+f几2。),。一丫了砚不灭十Jld:一此一。(i+拜)一fC(l+拜)d:_,/丫Jl不刁万一“12#

8、aZ(i+拼)+fZ 一e,(i+拌)为满足劣”c o的条件,久。只能取负 根,即只能存在自湾底向外传播的Po in ca r波.开尔文波解与Po inoa r乙波解叠加起来在湾底应满足法向流速为零的边界条件,尽。几,。+以:._,_.i j _._,_.1 七,1一二二一一-UV。,y一下二诬厂一1二l。少l 。二1Lu公.,、 、 . 口产一石一2 一y嗜。了f,_.,_./ 一。乏云汗,反刀!eXp仁,“!,!“22火_,./b、1 一允e xpl一(a、+艺a:)l夕一。一jl卜 L、1JJ(8)(9)(10)(1 1)因而有(12)式中,R为复反射系数(R R,+fR,).对于式(1

9、2)所表示的普通三角 级数,还没有办法求出C。和R的解析表达式.这里,我们也用Br own提出的配置法求C,和R的近似解.将式(12)中的级数截尾为前N项之 和,并令式(1 2)在y的N+1个不同点上得到满足,得到N+1个方程的联立方程组,可以同时确定R和 N个C。.如果分别计算它们的实部与虚部,则共有2(N+l )个方程,海荞学0卷因此,式(1 )的完整 解为互=雪1eosat+互:S lnat,u=u,e osat+“:sinat,u=v:c osat+”,sinat.(13)其中乙,=亡。(e口,+R,e一乡1)e o s口,+Re一月,sin口2+互e一之1Dl一夕一了(之:,+户几,

10、)D工+(之,。一拜几:。亡:=一亡。(e夕,一R,e一夕1)5in夕2+Re一”a(i+月2)l,:e o so,匹一i,.“,一,李:一!DZ一,+,一人叮竺“2,)D,一(只,a(1+拜)l些兰达卫卫,一5inl,.“5,。1-一夕续)匕一丈(。,+。2)(e,:一尸,e一)c 。502一尸。一。ISin。:f了1十拼+(aZ一拜a:)(e”1+R,e一;)51no:一Re一”1eo s02g 十下丁 一1+月户l 一尸,屯,一D;几2,a。 S,*袭一i,。夕).(16)g互。“2一 (aZ一拼a,)(e夕;一 Rre一乡:)e os夕2一 R;e一夕lsino, f 挤l+“,+(a

11、,+召aZ)(e”,+R,e一夕:)5in夕,一Re一1e oss。 g 1+拼2万e一产月二1:2D3兄2+D元1a飞一c o sl。y一黔S,)(,7,夕 CZa(1+拼2)2。乏e一之,夕逃产逃S。y.(1 8)一_ _ 一一 一卫一_ 2cZa(1+拼2)“。艺e一又1,:91DZ一g:D、_: _,一一了万一一”“,y.(1 9)口1一a:(b y一艺)+刀“(2 0) zb 口:=a:y一 万1十卢Zx.山/D:=C,e os几:。% +C;sin凡:。戈,D,=Cco s几:。x一Crsin几:,x,D3=(C,拼+C)C o s几:义+ (C拜一Cr)sin几2。戈,D=(C,

12、升一C,)C os久:。义一(Cr拜+C)sin之:。x,(2 1)3期赵进平等:半封闭矩形海湾中潮 波反射 问题及摩擦的影响g、= =2拌fZ+12c2拼(1+“2),92=f忍(1一拼)+l乏c(i+拼,).(2 2)式中,R,和R分别为R的实部和虚部,C,和C分别为C,的实部与虚 部.作为对上述结果的验证,我们用解(13)计算了所谓Taylor例子( b=500.5千米,h=了4米,T二1 2小时,f=0.0 0 0119/秒,拜=0),与Taylor和Br own的计算结果 完全一致.对于考虑底摩擦作用 的情况,我们计算了辽东湾的模型 ( a12 0海里,b =6 0海里,2 0图24

13、06 010 0(n而I e)h二2 0 米,拼=。.2 ),M:分潮的计算结果如 图2所示,辽东湾M, 分潮的计算(“=。.2)与文献(3) 的结果吻合.二、开尔文波的反射问题由式(14 )一(17)可见,反射系数R的实部和虚部不仅使解的形式变得复 杂,它们的作用 更是难以理解,如果令R,“IRR二R】51R】2=Re o s甲。,华+R李,甲。=ta n-n甲(R/R,).(2 3)代入式(14)和式(15)中的开尔文波部分,并代入式(13)可得雪=雪。e:eos(8:+at)+!Rle一:eos(8:一at一切。).(24)这样,它们的作用就容易看清楚了:1州表示反射系数值,甲。代表反射

14、波的初相.如果甲.o,表示反射波位相相对于 入射波的超前量.计算表明,在不 同环境特征的海域R,和R各不相同,说明反射波的初相随海域的条件发生变化.(一)反射波振幅与临界周期R l一。表 示开尔文波在湾底发生全反射,不发生能量损失,R I1表 示波幅递减不大,波功 可以携走较多 的能量, 州 明显减 小.因此,我们定义d二1为临界条件,即满足兑,二只:。.由式( n)可见,这一条件只有d:一。才能满足,并可导 出友2考虑底摩擦作用时反射系数 旧和临界周期犷。,(Taylo r例子)儿(又1。一5iR2。,上 飞生己 458.4了3。5口;:O,UZ8.59O。公038.6 5O。匀028,72

15、:。,一2:丫石万了/了子千 云l溉一(1一而伙丁。为满足占一1条件的“临界周期”,它的意 义是,周期为T。,的Po inc ar6波,(2 7)波幅的递减使其恰在一个波长距离上消失.同样,TT亡:.时,i州只是有微小的减小:T1 0 0 0公里时CZ最大.海湾宽度b和海深人都对波幅有显著影响.表3表 明,b越大,Po in ca r6波越强,甚至可以超 过开尔文 波儿倍.这可能是 由于海域较宽时海水的横向运动加剧造成的.表4则指出,水深 时Po in Ca r6波较弱,当水变浅时波幅 明显增大,也 可以 比开尔文波大几倍.浅水和宽阔的海域更容易产生较强的FOinCa此波,这 也许是世界上某些海区潮差较大的原因之一表5列 出的 数据表 明,底 摩擦的作用削弱Po in ca 1 己波波幅.有 一点应该注意,开尔文 波解对较窄的海湾是一种较好的描述,但当海湾太宽时,局地引潮力的作 用不能忽视,”一O的近似一与 实际情况偏差 较大,仅考虑 开尔文波解是不够的,由此得出的Fo in Ca r亡波 也许不真实.3期赵进平等:半封闭矩形海湾中潮波反射问题及摩擦的影响k(x一0一s)底摩擦对反射开尔文波和Po in c:r6波的影响 (Toy l o r 例子) 一() 11一、(。)J一(),一,(m,甲:(.)都一田4 4,JnJ :00口J 八几Jn