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1、2015 年考研数学第 4248讲，（数一，多元积分)第第 42 讲讲. 向量代数撑“空解”向量代数撑“空解”“平解”依靠平面直角坐标系，重在“轨迹”与方程。 “空解”依靠空间直角坐标系。通常将 x 轴正向指向我们， y 轴正向指向右，z 轴正向 指向上。 “空解”的第一工具是“向量代数”。 其主要内容是（三维空间的）自由向量集与 该集合上的线性运算（加法和数乘），向量的数量积和向量积。向量的投影。 1向量代数向量代数自由向量可以在空间中任意平行移动，而保持大小及方向不变。 自由向量的两要素自由向量的两要素 模长和指向模长和指向。规定零向量的模长为零，方向不定。 向量的两要素表示法向量的两要素
2、表示法 若把向量a的模长记为| a ，与 a 同方向的单位向量记为0a，则 向量 a 有两要素表示法两要素表示法 0|aaa=自由向量自由向量a的坐标的坐标 分别选与三坐标轴同方向的单位向量 i，j，k（或记为1e，2e，3e）为基向量组。这是三维向量空间的一个规范正交最大无关组。任意一个自由自由向量a ，不妨认为其起点是原点。总可以唯一地被基向量组线性表示。即 kajaiaa321+=，就称有序（实）系数组 , ,321aaa 为 向量a的坐标。（潜台词：对比一下，向量组的“最大无关组”，本质上就是一组“斜”坐标基。）向量向量21MM的坐标为 , ,121212zzyyxx（潜台词：终点坐标
3、 起点坐标。）方向余弦方向余弦 单位向量0a的三个坐标，恰好是该方向分别与三坐标轴夹角的余弦。从而向量的两要素表示法又可以记为 cos ,cos ,cos| aa=cos ,cos ,cos，称为向量 a 的方向余弦。向量的数量积向量的数量积 向量 , ,321aaaa= 和 , ,321bbbb=的数量积（又称为点积），是两个向量按照规则对应于一个确定的数，即 332211),cos( | |babababababa+=向量数量积的物理模型向量数量积的物理模型 常力 F使物体有位移矢量L ，所做的功，等于向量 F 与L 的数量积。向量的向量积向量的向量积 向量 , ,321aaaa= 和 ,
4、 ,321bbbb=向量积是一个向量。 它的模长 0，绕z 轴旋转产生园锥面 22yxkz+=；它是球坐标系的又一坐标曲面簇。数k 是园锥面的半顶角的余切。锥面 22yxkz+=向上无限伸展。 显然，锥面上各点处的外法向与 z 轴成钝角，内法向与z 轴成锐角。其中，外法向为 （2222, yxkyyxkx+，1）例例 22 已知点A (1, 0, 0) 与点 B (0, 1, 1) ，把线段 AB绕 z 轴旋转一周所成的旋转面记为 S ，求S 和平面 z = 0 ，z = 1 所围成的立体体积。分析分析 立体的任意一个水平剖面为一个园盘： x2 + y2 R2 (z) ，0z1 其中，半径R
5、(z) 就是直线段AB 上点 M (x, y, z) 和 点（园心）（0, 0, z）之间的距离。因而 关键的工作是求出 直线段直线段 ABAB 的以的以 z z 为参数的参数方程为参数的参数方程。 实际上，向量AM与AB线性相关。 （x 1，y，z） = t（1，1，1） 线段AB 有参数方程，x =1 t ，y = t ，z = t ， 即 x =1 z ，y = z ，z = z 10由微元分析法知 zdzRdV )(2=，从而 =1 0 2)(zdzRV （32=V）例例 23 求曲面 zzyxn=+)(222，n 为自然数，所围成的立体体积。分析分析 曲面即为 nzzyx/1222=
6、+，由基本初等函数 u = z 2 和 nzu/1=的知识可以判定 0z1 ；否则，若 z 1，则 nzz/12，与方程式矛盾。对旋转体作微元分析，zdzRdV )(2= ，0z1，2/12)(zzzRn= ，从而有+=1 0 2/1)31 1( )(nnzdzzVn2。空间曲线在。空间曲线在 xoy 坐标面上的投影坐标面上的投影怎样求得空间区域 在 xoy 面上的投影呢？正如在本讲首节柱面柱面 与“投影柱面”“投影柱面”所 言，你先得将它表示为一张“母线平行于 z 轴的柱面”与另一张曲面的交线。 空间曲线在空间曲线在 xoy坐标面上的投影坐标面上的投影，是投影柱面是投影柱面（过空间曲线且母线
7、平行于 z 轴的柱 面）与与 xoy 面的交线。面的交线。 由空间曲线一般式中的两个方程消去变元 z ，就得到将曲线向 xoy 面投影的投影柱面 H (x, y) = 0 ，投影方程为 H (x, y) = 0，z = 0特别的是，空间曲线 =0) ,( 0) , ,( yxGzyxF在 xoy 面上的投影就是 0) ,(=yxG按“投影柱面”“投影柱面”思路可以扩展一步，“求直线在任一平面内的投影。” 直线在平面内的投影直线在平面内的投影 直线在平面内的投影，是投影平面（过直线且垂直于已知 平面的平面）与已知平面的交线。例例 26 求直线L：11 111 =zyx在平面 012=+zyx上的
8、投影直线 L0 ，并求L0 绕 y 轴旋转一周所得曲面的方程。分析分析 按作图步骤计算。按作图步骤计算。 先求投影柱面，本题中即是过L且垂直于已知平面的平面。 用 “单参数平面族”方法，将过L 的平面方程记为（实际上不包含平面01=+zy）： 0)1(1=+zyyx； ,1 ,1=n，要 n和 )2, 1, 1(1=n垂直，用点积公式算出2=；所求投影直线 L0有一般式方程：=+=+0123012zyxzyx或 =) 1(2yzyx21设旋转面上任意一点为（x, y, z），必在相应的一个园周上。从而有（半径 = 半径）2222)1(21()2(+=+yyzx 即 0124174222=+yz
9、yx11例例 27 （1）曲线=+=+RxyxRzyx222222在 xoy 坐标面上的投影为22Rxyx=+（2）曲线 +=226yxzyxz22在 xoy坐标面上的投影为4 22=+yx分析分析 曲线（1）是园柱面与球面的交线 。园柱面是它的投影柱面。 求曲线（2）在 xoy坐标面上的投影，要先从两张曲面方程中消去 z ，还要以22yxr+=为未知量，解一元二次方程得 222=+yx空间曲面块S 在x o y 面上的一对一投影一对一投影，就是 S的边界曲线在xoy 面上的投影所围成 的区域。 例27中曲线（1）的投影所围成的区域Rxyx+22，即是上半球面222yxRz= 被柱面Rxyx=
10、+22所截下的部份，在x o y 面上的一对一投影一对一投影。例27中曲线（2）的投影所围成的区域422+yx，即是开口向下的旋转抛物面，被锥面所截下的部份，在x o y 面上的一对一投影一对一投影。也是锥面被旋转抛物面所截下的部份，在 x o y面上的一对一投影一对一投影。例例 28 求空间区域在xoy 面上的投影。（1）由 222Ryx+ 和 22222244yxRzyxR 所限区域 1（2）由曲面 0 , 1 , ,222=+=zyxyyxz 围成的区域 2分析分析 1的上、 下边界面分别是上半、 下半球面的部分块，它以园柱面 222Ryx=+ 为侧面。 1所相应的投影区域 Dx y ，
11、是222Ryx+2 的下边界面显然是z = 0 ，而上边界面 22yxz+= ，它有两张母线平行于 z 轴的柱面组成的側面。且此側面在 xoy面上的投影是一条封闭曲线。所以，这条曲线所围平面区域 就是2的投影。即 Dxy 0y1，yxy （潜台词：都是广义的曲顶柱体。）例例 29 计算曲线 =0 ) , ,( 0) , ,( zyxGzyxF在 xoy 坐标面的投影上点) ,(yxM处的切线斜率。解解 设方程F (x, y, z) = 0确定了隐函数z = z (x, y) ，又设想将它代入下一方程得 G (x, y, z (x, y) = 0 ，这是一张母线平行于这是一张母线平行于 z z
12、轴的柱面轴的柱面。 它与F (x, y, z) = 0联列，还表示原曲线。因而它和xoy 面的交线即是曲线的投影。投影方程还是 G (x, y, z (x, y) = 0 用公式法求隐函数的导数，在投影上任意一点) ,(yxM ，12zx FF xz=， zy FF yz=， yzzyxzzxzyzxyx FGFGFGFGyzGGxzGGGG dxdy =+ =（画外音： 如果读者求出曲线在 M (x, y, z)处的切线，并继续求出切线在 xoy面上的投 影。就会得到一个有趣的结论：“曲线的切线在曲线的切线在 xoy 面上的投影，恰好是它的投影在相面上的投影，恰好是它的投影在相 应投影点处的
13、切线。应投影点处的切线。”这是一个很好的综合计算题。 一般情况下，我们可以作 在yoz 面（或 zox 面）上的剖面图，（截痕图），来具体 观察。也可以分析已知曲面方程，先判定区域的上下边界面及側面。第第 44讲讲. “先一后二”算“三重”先一后二”算“三重”从微元法思路出发，处理平面区域D 上二重积分，或求 D 向 x 轴的投影区间，对 D 作 竖直分割。化二重积分为先对y 后对 x的逐次积分。或求D 向 y 轴的投影区间，对 D 作水平 分割。化二重积分为另一顺序的逐次积分。 同样，从微元法思路出发，在直角坐标系或柱坐标系下，在直角坐标系或柱坐标系下，计算具有连续体密度 f (x, y,
14、z) 的空间区域 的质量，即三重积分，需要先求出 在 xoy面上的投影D x y ，对 作竖直分割。先对z 作定积分，再于 D x y 二重积分。 1。在直角坐标系或柱坐标系下计算。在直角坐标系或柱坐标系下计算三重积分三重积分假设过 D x y 上任意一点 (x, y) ，且垂直于 xoy 面的直线，最多只和区域 的边界曲面 有两个交点，即区域 可以表示为) ,() ,( ,) ,(|) , ,(21yxzzyxzDyxzyxxy=其中 z = z1 (x, y) 称为 的下边界面， z = z2 (x, y) 为上边界面。 这时，三重积分可以通过“先一后二”降维法“先一后二”降维法化为三次定
15、积分。 在直角坐标系及柱坐标系下分别有dvzyxf),(=dzzyxfdxdyyxzyxzD),(),(),(21 dvzyxf),(=dzzrrfdrdrrrzrrzD),sin,cos()sin,cos()sin,cos(21 （潜台词：粗想柱坐标。即，竖直方向对 z 积分，投影上用极坐标作二重积分。） 例例 32 试证明曲面 122+=yxz 上任意一点 M 处的切平面和曲面 22yxz+= 所围成的体积为定值。 分析分析 所讨论区域由上下边界面围成。上下边界面围成。 显然，曲面 122+=yxz 的切平面是区域的上边界面，曲面 22yxz+= 是区域的下边界面。设切点为) , ,(000zyx，用替换法得到切平面方程1 , 122 02 00000+=+=+yxzyyxxzz即 2 02 000122yxyyxxz+=13上、下边界面方程联列消z 得 Dxy为 1)()(2 02
