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1、【第 1 页 共 8 页】华中农业大学 2013 年大学数学竞赛试题（非数学专业组）试卷满分：100 分时间：180 分钟答题形式：闭卷题 号一二三四五六七总 分 满分30121012101214得 分一、计算下列各题（要求写出主要步骤） （本大题共 5 小题，每小 题 6 分共 30 分）1.求 )sin1)(sin1 ()(sin1lim2xxxx，0,2.求曲线1lnlnyx所围成图形的面积本题 得分 班级姓名学号 装 订 线 【第 2 页 共 8 页】3.计算dVzyx2)(，其中1:222222 cz by ax4.计算 dsyxI)3()2(22，其中0, 0,:2222 azyx
2、azyx5.求级数1!1nnn的和【第 3 页 共 8 页】二.（本题 12 分）设函数),(yxzz 有二阶连续偏导数，并且满足0222222 yzCyxzBxzA，其中，02 ACB，若令 , yxvyxu 试确定常数,的值，使原方程变为02 vuz，并求出),(yxzz 本题 得分【第 4 页 共 8 页】三、 （本题 10 分）在曲面0)()(2222zyxxzzyyx上点)0 , 0 , 0(处的切平面内求一点 P ，使点 P 到点)2 , 1 , 2(A和点)2, 1 , 3(B的距离的平方和为最小值本题 得分 装 订 线 【第 5 页 共 8 页】四、 （本题 12 分）设函数)
3、,(yxfz 为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何tyx,成立),(),(2yxfttytxf，(1) 证明：),(2),(2 yxfyxfyyxx ；(2) 设D是由4:22 yxL所围成的闭区域，证明：dyxgradfdivdsyxfDL),(),(.本题 得分 装 订 线 【第 6 页 共 8 页】五、 （本题 10 分）设( )f t 在0, 上连续，且满足 22224224)21()(tyxtdxdyyxfetf，求( )f t 本题 得分【第 7 页 共 8 页】六、 （本题 12 分）设函数 ( )y具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分24( )2 2Ly dxxydy xy 的值恒为同一常数. (1) 证明：对右半平面0x 内的任意分段光滑简单闭曲线C，有24( )202Cy dxxydy xy；(2) 求函数 ( )y的表达式.本题 得分【第 8 页 共 8 页】七、（本题 14 分） 证明方程0cos832xnxxn存在唯一正实根nx，并证明3p时，级数1np nx 收敛本题 得分 装 订 线
