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1、谁?愁第?期? ? ?年?月么校应用数李李基? ?阅 ?恤?如?孙让比坦? ? 血改?垃,“眨?。场?。?礴?关于? ? ?定理的推广林文元?台湾 高雄 市,中山大学?林春土?浙江大学 ?摘要许多文献研究? ? ? ?定理,都限定拒阵是 幕等?“二?、或三次 不等?二?本文讨论的? ? ? ?定理,则把拒阵类扩大到满足? ? 十?才一? ?二?二?的矩 阵类?一、月 纷西? ? ? ?定理是方差分析的基本定理,也是研究多元 正态变贵二次型 分布的 主要依据。统计学的专著和文献中,有许多关于? ? ? ?定理 及其推广的论 述,可参着? ?。?和? ? ?以及张尧庭、方 开泰的著作?设,乏? ?
2、,? ?,其中?是单位阵,? ? ?”定理的基本形式如下定理?设?,是?,阶矩阵,?“月?,?,? ?,?十?那么二次型? ,人?,? ,? ?,? ,瓜?互相独立地服从?,?,?,护?,?八?的充要条件是?,?服从?,?,而且?二?犷之?”?了?其中扩?表示自由度为?的中心扩一分布,秩。而袱?二?,?二,这里?表示矩阵的根据二次型? ,?到? ,二? ?服从护一分布的充要条件是沙? ,因此,定理?还可以用矩阵的语言表达如下 定理?产设次“?卜?,?,幻,?通? ?二?成?考虑如下四个条件?卜?,?二?,?,?,?,?,?今?,?,?二?,?,?,?二?,?“ ?刁,?月?本文?年一?月?旧收
3、到,? ?年?月?日收 到修改稿?关子? ?定理的推广?那么,条件? ?、? ?成立的充要条件是条件?、? 成立?关于定理?和定理?产的证明可参见?尸? ?一?,?当然,把? ? ?定理写成定理?的形式 时,条件?、? ?、?、? ?之间,还有另外一些结论,这里仅就和本文有关的部分 列写出来,其余部分 就略去不谈?从矩阵的特征根角度来看,上述定理的结论,涉及矩阵?和?的特征根都是。和?,即非零的 特征根 只有?最近,丁? ? ? ?和? ?研究了?,和?包含有二个非零特征根的? ? ? ?定理?为了简略地介绍?的结 果,先给出矩阵的几种偏序 ? ? ? ? ? ? ? ? ?及其关系。星号序,
4、记为?,定 义为?,?,?且刁?尹?产减号序,记为?鉴?,定义为以?一?,?一,?记产?为矩阵的不同的非零特征根 的集合?如 果,?一?一以?,且产?川? ?,则记为?簇?边由上述定义,可以证明这三种偏序有如下关系?成?今,?成?巴今?鉴?, ?但是,可以举 例说明? ?中的箭头反过来一般是不会成立的,参看?。文章?给出如下形式的? ?定理定理?、设?丁?,?,拜?,?,?,才?,?今?,?,?,?。?,?,?二?考虑如下四个条件?西?、?、?、?,?,?,=1, 2, k),A簇A,(i=1, 2, k)。其中C:,C:是非零实数且C,斗 C:.那么,条件(a )、(b )成立的充要条件是条
5、件 ()、(d )成立.容易知道,如果把定理2和二次型 的分布联系起来,定理2还可以叙述如下 =A(i=1,2, k), A=A:+A。,C, CZ是非零实数且C,今C:。k)。考虑如下四个条件:,、.产n,七定理2 设次如果x N。(0, I),Q=x,Ax, Q.二 x Ax (i=z,Q C,忿爹+CZ大孟., (i=l,2,Q:, QZ, Q。互相独立-p C:大爹+CZ、绘,、 .夕少、.J、 .1a口加口C了.、产. 、了.、(d)A簇A,通(i二1, 2,k)高校应用数学学掖其中(a )中的对.和雄,及(。)中的对和瑞是互相独立的护一分布,其自由度可以为。那么,条件(a )、(b
6、 )成立的充要条件是条件(c )、(d )成立.定理2和定理2,的证明见 4.文章 4特别指出,如果把条件 (。 )、(。 )中不同的特征根从二个换成三个以上,那么定理2和定理2产将不会成立。本文从矩阵的特征根和矩阵类二个方面来 讨论伪chr an定理的推广.定理3中把定理2的条件(d ) 改为星号序, A镬A。由关系 式(1.1 )可知,由条件(a )、(b )推 出( )、(d )时,其结果要比4中的结果更加强一些.而定理4则把定理1的结论推广到多个特征根的一般情况。另一方面,从矩阵类的角度来看,大多文献讨论的 矩阵A,及A都是限于幂等矩阵击=A和AZ=月,文献 5也涉及三次幂等矩阵的情况
7、,即A卜A和A吕二A,而本文的定理 5则推广到非常广泛的一类矩阵,不仅包括了幂等阵和 三次幂等阵的情况,也包括了定理 4的情况.二、主要结果为了使以后的定理证明简明起见,先给出下面几个引理.引理1设x N.(O,I ),A,=A和B ,=B,那 么,二次型x,Ax和x,Bx互相独立的充要条件是A B二。.证明见 3P.123一 126.引理2如果x N。(0,I ), A)o, B)o,那 么x,Ax和x,Bx是 互不相关的充要条件是A B=O。因为Co。(x,Ax,x,Bx )“Zt r(AB),且当A)o, B)o时,t,(A B)=o当且仅当A B二o,便得出引理2.于是,当A。, B)
8、。时,二个二次型互 相独立和它们互不相关是 等价的。引理3设A:=A(i“1, 2, k),那 么, A A,=0(i斗j, i, i=z,2, k)的充要条件是存在正交阵G,使得G A:G“Diag(A:,0,o,o,o)G, A: G二Diag(o, AZ,0,o,o). . . . . . . G, AG=Diag(o,o,0,效,o),(2. 1)其中A(汇二1, 2,的是非奇异对角阵,其对角元素是A的非零特征根.证明充分性是显然的。必要性,不失一般性,我 们只对k=2的情况给出证明。如果人AZ二人A:=o,那 么A,人可以同 时化为对角形,不妨认为存在正交阵G,使得“刁,G= =Di
9、ag(刁, o,0,o)A,是非奇异对角阵,而关子Co chr an定理的推广501G,人G=D lag( A0 A2,o,0 ),其中AZ是非奇异对角阵.因为G A: AZG=Diag(d:刁。,o,o, 0)“o所以刁。二0,证毕。引理4设A百二A (艺=x,2, k), A=A:+A。,那 么,(A)=, (A: )+r(A一)的充要条件是A, AZ, A。同时存在如下奇异值分解尸月,口= Diag(D,o,一, 0,o)P A:口 =Diag(o, DZ,0, o)尸月。口,= =Diag(0,o, D。,0)(2.2)其中P ,P“I,口,=I,D是具有正实数的非奇异对角阵.证明充分
10、性是显然的.必要性、不失一般性,我们只 对k二2加以证明.如果:(A:+A:)=, (A: )+, (人),对月, AZ作如下奇异值分解A!=pl (侣!0 0)。, A:二pZ(君:0 0)Q:,(2. 3)其中P:,几,口:,O z均为正 交阵.把(2.3 )式 改写一下A!二p:(君:0 0)口:=p:(令 )D, (:1,。)。;AZ二p之(尽之0 0)Q=p:(令 )D:(,:,。)口:其中,:,:分别是和D;, DZ同阶的单位阵.易知p:(令 )的列是“(A:,的正交基,城z 0 z)的列是R(刁2)的正 交基,这里符号R()是由矩阵的 列向量张成的线性子空间.由r (A:+A:)
11、二以A, )+(A z )知, p。=城x 0 l ),和 P 二1, 2, k(b)AA, 二0,(:. 奔i, i, j=z, 2,一, k)(c)升(A)gC:,C: (d)A蕊月(i二l, 2, k)那么,条件(a )、(的成立的充要条件是条件(c )、(d )成立.证明由关系式(1.1)知,(c )、(d)今(a)、(b)是定理2的推论.下面证明(a)、(b)吟(c)、(d).利用引理3,当条件( b )成立时,式,人,式可以同时对角化,于是有G,AG=G,(月;+月、)G二Diag(A:, A:,才一, o)(24 )即刁也同时对角化,且其对角块是A:,瓜,瓜,当(a )成立时,便
12、有拜(A)“召(A:)U产(AZ)UU“(刁*)gC:, CZ而且由(2.1)和(2.4 )可得 A丁A。= A丁A且A A丁=A Af,即通攫A, (a )、(b)片 (c)、(d)证毕.定理4设A丁二A (i二1,2,k ), A二月:+姓。,C:, C:, C.是非零实数,且C斗 C, (i奔声 ),考虑如下四个条件(a)拼(A )gC,C:,一, C:, i= =1,2, k(b)A、 AJ =0,(i钾j, i, i=1,2,一, k,(e )召(A)gC;,C;, C.,(d)r (A)=,(A, )+以滋2)+,(A, ).那 么,条件(a )、(b )成立的充要条件是条件(:)
13、、(d )成立.证明,如 (西)成立,由 引理3和 (2.4 )式知,l (A)=群(Al)U拜(AZ )UU群(月、)因此,当(a ) 成立 时,便 知(。)成 立;又由(2.4 )式,显然(d )也成立.反之,如果(d )成立,利用 引理4,必有P AA,P二尸月口,口月了P,“0,(i今i)于是就有A A,=o(i今j),由此我们便得出(d)中(b)冷(2.2),这样就知道产(A)= =产(通:)U二U拼(A*),当C成立 时,必有解(通, )gC, C:, C.这样就完 成(c)、(d)峥(a)、(b )的证明.定理证毕.和定理2相类似,我们也可以把定理3和定理4分别用二次型分布的语言
14、来表达,这里就略去了.关子Co ch r an定理的推广503作为实例,考虑:=2,C:,C:二 +1,一l ,利用定理4,我们可以得到如下结果系设川=姓 ( l二1,2,k ), A=月:+A。,考虑如下四条件(a)A卜A,(乞二1,2,无)(b)A A,=o, (i钾j, i,夕=1, 2, k)(c )A3=A,(d), (A)二 了 (A, )+、+犷 (A ),那么,条件(a )、(b )成立的充分必要条件是条件()、)d )成立。这里我们是把系作为定理4的一个特例,当然,还可以直接地加以证明如下当(a)、(b)成立时,A = = (A:+月。)(A:+介“二(勿, ) (告为 +成)“.买川?;买式式=.买击)二孰、+买,通,“耳次=耳式=A.再由引理3,当(b)成立时, A:, A:, A。可同时化对角形,使得G通G=G (A,+AZ+A办G=D ia g效, AZ,通。于是便有于是存在正交 阵认 0),(A)=, (A: )+r(A、)这样就证得 (a)、(西)峥(:)、(d).反之,如 果(e)、(d)成立,由引理4可知, A A,= =o (i今j).而当(e)成立时,升(A)=z,一1,按定理4,升(A。)g1,一1,于是存在正交阵G,使得 G, A G二Diag(几:,久:,几. )二D
