现代信号处理_2013-07

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1、1现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 1李飞李飞 20132013年年2 2月月- -5 5月月现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 ( (第七讲）第七讲）第七讲）第七讲）现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 2李飞李飞2013.4.172013.4.17第三章第三章第三章第三章 随机信号的功率谱估计随机信号的功率谱估计随机信号的功率谱估计随机信号的功率谱估计2现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 3 经典谱估计与现代谱估计经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述参数模型法概述 基于基于AR模型的谱估计模型的谱估计 最大熵谱估计最大熵谱估计最大熵

2、谱估计最大熵谱估计 最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计上讲回顾上讲回顾上讲回顾上讲回顾现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 4 最大熵谱估计最大熵谱估计最大熵谱估计最大熵谱估计 最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计 MESE与与AR的等价关系的等价关系 Levinson算法算法 Burg算法算法证明 步骤证明 步骤 基于基于基于基于矩阵特征分解的矩阵特征分解的矩阵特征分解的矩阵特征分解的谱估计谱估计谱估

3、计谱估计 MVSE基本原理基本原理 MV谱、谱、ME谱与谱与AR谱的关系谱的关系上讲回顾上讲回顾上讲回顾上讲回顾 自相关矩阵的特征分解自相关矩阵的特征分解 基于子空间的频率估计与信号估计基于子空间的频率估计与信号估计 高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计3现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 5定义m阶前、后向预测误差的功率为定义m阶前、后向预测误差的功率为 )17()()(21P22 pmnmmmngnf将将(16)代入代入(17)，并令，并令Pm对的偏导数为零,得最佳对的偏导数为零,得最佳mm)18(,.,2 , 1, ) 1()() 1()(12* 121* 1 pm n

4、gnfngnfpmnmmpmnmmm BurgBurg算法算法算法算法)16()() 1()()16() 1()()(1* 111 bnfngngangnfnfmmmmmmmm m阶前、后向预测误差分别为m阶前、后向预测误差分别为现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 6设已知有限数据序列设已知有限数据序列x(n),n=0,1,N，则可按下列步 骤计算预测滤波器系数，并在此基础上计算功率谱。，则可按下列步 骤计算预测滤波器系数，并在此基础上计算功率谱。2000 0( )( )( )( )NnPx nfng nx n2 . m=m+1,并按并按(18)计算反射系数计算反射系数m 3.

5、计算滤波器系数计算滤波器系数) 1,.,1( ,)1()1()( mjaaam jmmm jm j4. 计算预测误差功率计算预测误差功率12)1 (mmmPP5. 按按(16)式计算滤波器输 出式计算滤波器输 出)(),(ngnfmm6. 置置m=m+1, 并重复步骤并重复步骤(2)-(5), 直到直到m=pBurgBurg算法算法算法算法1. 置置m=0, 计算初值计算初值4现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 7最后，由最后，由Berg算法估计的滤波器系数算法估计的滤波器系数pp jPpja及),.,2 , 1( 计算功率谱密度：计算功率谱密度：21)(1)( pkjkp kp

6、 Burg eaPPBurgBurg算法算法算法算法- 算法步骤- 算法步骤现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 8 最大熵谱估计最大熵谱估计最大熵谱估计最大熵谱估计 最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计 MESE与与AR的等价关系的等价关系 证明证明 Levinson算法算法 证明 步骤证明 步骤 Burg算法算法证明 步骤证明 步骤 基于基于基于基于矩阵特征分解的矩阵特征分解的矩阵特征分解的矩阵特征分解的谱估计谱估计谱估计谱估计 MVSE基本原理基本原理 算法推导、步骤算法推导、步骤 MV谱、谱、ME谱与谱与AR谱的关系谱的关系上讲回顾上讲回顾上讲回顾上讲回

7、顾 自相关矩阵的特征分解自相关矩阵的特征分解 基于子空间的频率估计与信号估计基于子空间的频率估计与信号估计 高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计5现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 9 算法推导算法推导 利用利用Lagrange乘子法求解乘子法求解(5)式式,得得最小方差滤波器系数最小方差滤波器系数为为)()()(11ipiHip MVeReeRa )()(11 ipiHMVeRe)()(1)(1eRepHMVP相应的相应的最小方差最小方差为从而，估计的为从而，估计的最小方差谱最小方差谱为为最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计- 基本原理- 基本原理现代信

8、号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 10MV谱与谱与AR谱之间的一个重要关系谱之间的一个重要关系：011 ()()pkM VARPP其中221( )1( )k ARk j m k mPa m e最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计- - MV谱与谱与ME谱或谱或 AR谱的关系谱的关系6现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 11 最大熵谱估计最大熵谱估计最大熵谱估计最大熵谱估计 最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计 MESE与与AR的等价关系的等价关系 证明证明 Levinson算法算法 证明 步骤证明 步骤 Burg算法算法证明 步骤

9、证明 步骤 基于基于基于基于矩阵特征分解的矩阵特征分解的矩阵特征分解的矩阵特征分解的谱估计谱估计谱估计谱估计 MVSE基本原理基本原理 算法推导、步骤算法推导、步骤 MV谱、谱、ME谱与谱与AR谱的谱的关系关系上讲回顾上讲回顾上讲回顾上讲回顾 自相关矩阵的特征分解自相关矩阵的特征分解 结论结论 基于子空间的频率估计与信号估计基于子空间的频率估计与信号估计 方法方法 高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 12111111()(5)pM HH piiiwii iipM HH iwiiwii ii MRVVVVVVVV) 4(1 MiwH iiip

10、IeeAR自相关矩阵的自相关矩阵的自相关矩阵的自相关矩阵的 特征分解特征分解特征分解特征分解- 基本结论- 基本结论) 1 ()(, )()exp()(21wwwMiiixxkkjAkr 设信号设信号x(n)由由M个复正弦加白噪声组成个复正弦加白噪声组成, 分别是第分别是第 i 个复正弦的功率和频率个复正弦的功率和频率, 则则x(n)的自相关函数为的自相关函数为iiA、 自相关矩阵的特征分解为自相关矩阵的特征分解为7现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 13含噪信号的特征值含噪信号的特征值含噪信号的特征值含噪信号的特征值 注注：图中：图中P即式即式(5)中中M，N即式即式(5)中中

11、p+1现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 14基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计基于矩阵特征分解的谱估计自相关矩阵的特征分解自相关矩阵的特征分解基于子空间的频率估计与信号估计基于子空间的频率估计与信号估计- PHD方法方法(Pisarenko Harmonic Decomposition)- MUSIC方法方法(Multiple Signal Classification)8现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 151)求求x(n)的自相关函数并构成自相关矩阵的自相关函数并构成自相关矩阵Rp,且设且设p=M 2)对对Rp进行进行特

12、征分解特征分解,得特征值及特征向量 将其排序并找出最小的特征值及相应的得特征值及特征向量 将其排序并找出最小的特征值及相应的 3)将代入将代入(7)，形成，形成M阶多项式并求该多项式的根， 得到阶多项式并求该多项式的根， 得到x(n)的的M 个频率个频率 4)由由(1)有有11,.,M1M1MV1MVM,.,1)8()()2() 1 ()exp()exp()exp()2exp()2exp()2exp()exp()exp()exp(21212121MrrrAAAjMjMjMjjjjjjxxxxxxMMMM 5)再由(1)得：故可求得故可求得:)9()0(1 MiwiAr1(0)(10)Mwixx

13、 iAr11,.,MVVPisarenkoPisarenko谐波分解谐波分解谐波分解谐波分解- 算法步骤- 算法步骤现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 1611211)13()()()(pMKkHpMKH kkHVeeVVe式式(13)在处应为零，从而理论上有在处应为零，从而理论上有i1211( ) ()MUSICp H kik kMP eV该峰值对应的就是正弦信号的频率该峰值对应的就是正弦信号的频率,分辨率优于分辨率优于AR模型法模型法MUSICMUSIC方法方法方法方法- 基本思路- 基本思路()MUSICiP P=M9现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 17现

14、代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 1810现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 19小小小小 结结结结现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 20 最大熵谱估计最大熵谱估计最大熵谱估计最大熵谱估计 最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计最小方差谱估计 MESE与与AR的等价关系的等价关系 证明证明 Levinson算法算法 证明 步骤证明 步骤 Burg算法算法证明 步骤证明 步骤 基于基于基于基于矩阵特征分解的矩阵特征分解的矩阵特征分解的矩阵特征分解的谱估计谱估计谱估计谱估计 MVSE基本原理基本原理 算法推导、步骤算法推导、步骤 MV谱、谱、ME谱与

15、谱与AR谱的谱的关系关系上讲回顾上讲回顾上讲回顾上讲回顾 自相关矩阵的特征分解自相关矩阵的特征分解 结论结论 基于子空间的频率估计与信号估计基于子空间的频率估计与信号估计 方法方法 高阶谱估计高阶谱估计11现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 21高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计高阶谱估计研究高阶谱的必要性研究高阶谱的必要性 高阶统计量高阶统计量 高阶谱高阶谱 高阶累积量和多谱的性质高阶累积量和多谱的性质 三阶相关和双谱及其性质三阶相关和双谱及其性质 累积量与多谱估计累积量与多谱估计 基于高阶谱的相位谱估计基于高阶谱的相位谱估计 基于高阶谱的模型参数估计基于高阶谱的模型参数估计 多谱的应用多谱的应用现代信号处理现代信号处理现代信号处理现代信号处理 22研究高阶谱的必要性研究高阶谱的必要性研究高阶谱的必要性研究高阶谱的必要性关于模型参数估计