《《高考特训函数基本性质》函数的周期函数含两部分：（一）例题讲解（二）特训练习（均含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高考特训函数基本性质》函数的周期函数含两部分：（一）例题讲解（二）特训练习（均含解析）（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、“子墨课堂“态度决定一切 强势来袭，王者归来！ “子墨课堂”高考“子墨课堂”高考精品课程精品课程函数的周期函数函数的周期函数 （一）、函数的周期函数（一）、函数的周期函数例题讲解例题讲解 （二）、函数的周期函数（二）、函数的周期函数特训练习特训练习 （一）、函数的周期函数（一）、函数的周期函数例题讲解例题讲解 知识点及方法总结知识点及方法总结 主讲人：杜永堂主讲人：杜永堂 （六）求函数的周期函数： 一、周期性周期性概念概念： (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T（T0），使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f f( (x x) )恒成立，那么就称函数y f(x)
2、为周期函数，称非零常数T为函数f（x）的一个周期，周期函数的周期不 唯一。 说明：说明：T必须是常数，且不为零； 对周期函数来说()( )f xTf x必须对定义域内的任意x都成立。 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小存在一个最小 的正 数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 二、重要结论二、重要结论：（分别对应各种题型，以下 k 为非零整数，T 表示周期。） 1、由定义判断：如果 f xf xa，则 yf x是周期函数，T=ka； （即：)()(xfTxf)(xfy 的周期为T（最小周期）。） 2、若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(x)(a0
3、), 则 f(x)为周期函数且 T=2ka； （即：)()(xfaxf)(xfy 的周期为aT2（最小周期）。） 3、若函数f xaf xa，(a0)，则 xf是周期函数，T=2ka； 附加：)()(xbfaxf)(ba )(xfy 的周期为abT。 4、若函数 f(x)满足 f(x+a)= xf1(a0), 则 f(x)为周期函数且 T=2ka； 附加：)()(xfcaxf (C 为常数)(xfy 的周期为aT2。 5、若函数 f(x)满足 f(x+a)= xf1 (a0), 则 f(x)为周期函数且 T=2ka； 6、若函数 f(x)满足1( )()1( )f xf xaf x，则 xf是
4、周期函数，T=2ka； （即：)(1)(1)(xfxfaxf )(xfy 的周期为aT2（最小周期）。） “子墨课堂“态度决定一切 强势来袭，王者归来！ 7、若函数 f(x)满足1( )()1( )f xf xaf x ，则 xf是周期函数，T=4ka； 附加：1)(1)(xfaxf )(xfy 的周期为aT4（最小周期）。 8、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)= )(1)(1 xfxf (xR，a0)，则 f(x)为周期函数 且 T=4ka； （即：)(1)(1)(xfxfaxf )(xfy 的周期为aT4（最小周期）。） 附加： （1）)()()2(xfaxfaxf)(xfy 的周期
5、为aT6。 （2）) 1()()2(nxfnxfnxf；（它是周期函数，一个周期为 6。） 9、若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a, x=b(ba)都对称，则 f(x)为周期 函数且 T=2k(b-a)； （即：)(xfy 有两条对称轴ax 和bx （)ba )(xfy 周期 )(2abT（最小周期）。） 10、函数( )yf xxR的图象关于两点0,A a y、0,B b yab都对称，则函数( )f x是周期函数，T=2k(b-a)； 附加：)(xfy 有两个对称中心)0 ,(a和)0 ,(b)(xfy 周期)(2abT（最小周期）。 11、函数( )yf xxR的图象关于0,A
6、a y和直线xbab都对称，则函数( )f x是周期函数,T=4k(b-a)； 附加：)(xfy 有一条对称轴ax 和一个对称中心)0 ,(b)(xfy 周期 )(4abT（最小周期）。 12、若偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 T=2k|a|； （即：奇函数)(xfy 满足)()(xafxaf)(xfy 周期aT4（最小周期）。 13、若奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 T=4k|a|； （即：偶函数)(xfy 满足)()(xafxaf)(xfy 周期aT2（最小周期）。） 14、若函数 y=f(x)满足 f
7、(x)=f(x-a)+f (x+a)(a0)，则 f(x)为周期函 数,T=6ka； 15、若奇函数 y=f(x)满足 f(x+T)=f(x)(xR，T0)，则 f(2T)=0。 16、特例：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2 是最小正周期, T=2k 。 “子墨课堂“态度决定一切 强势来袭，王者归来！ 正切函数和余切函数也是周期函数，正切函数和余切函数也是周期函数， 是最小正周期，是最小正周期，T=kT=k 。 17、形如 y=Asin（ x+ ）+B（A 0）的函数的最小正周期是 T=2 ； 形如 y= Acos（ x+ ）+B（A 0）的函数的最小正周期是 T=2 ； 形如 y= Ata
8、n（ x+ ）+B（A 0）的函数的最小正周期是 T= ； 形如 y= Acot（ x+ ）+B（A 0）的函数的最小正周期是 T= 。 在物理学中，以上 A 称为振幅， 是频率， 是初始相位， x+ 称为 相位。 振动物体离开平衡位置的最大距离叫振动的振幅。 振幅在数值上等于最大 位移的大小。 振幅是标量，单位用米或厘米表示。振幅描述了物体振动幅度的 大小和振动的强弱。 物体完成一次全振动经过的时间为一个周期 T，其单位为秒。 周期是表示 质点振动快慢的物理量，周期越长，振动越慢。 一秒钟内振动质点完成的全振动的次数叫振动的频率，其单位为赫兹(HZ) 。 频率也是表示质点振动快慢的物理量，频
9、率越大，振动越快。 周期和频率的关系为 f (Hz) =1s/Ts，表示一秒钟内完成全振动的次数。 两者是反比关系，严格说就是互为倒数关系。简谐运动的振动频率（周期）是 由振动物体本身性质决定的，所以又叫固有频率（固有周期）。 xy 正弦函数图像正弦函数图像f(x)=sin(x)余弦函数图像余弦函数图像g(x)=cos(x)g x = cos x f x = sin x 2-Oxy正切函数图像正切函数图像f(x)=tan(x)/2-/2-O“子墨课堂“态度决定一切 强势来袭，王者归来！ 一：周期函数部分例题：一：周期函数部分例题： 例例 1 1： （1）已知f(x)在 R 上是奇函数，且满足f
10、(x4)f(x)，当x(0,2)时， f(x)2x2，则f(2 011)= 。 （2）已知定义在 R 上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，则 f(9)= 。 例例 2 2：设f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)。 当x0,2时，f(x)2xx2。 (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x2,4时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 011)。 思维启迪：思维启迪： (1)只需证明f(xT)f(x)，即可说明f(x)是周期函数； (2)由f(x)在0,2上的解析式求得f(x)在2,0的解析式，进而求f(x) 在2,4上的解
11、析式； (3)由周期性求和的值。 探究提高探究提高： 判断函数的周期只需证明f(xT)f(x) (T0)便可证明函数是周期函数， 且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点 问题。 “子墨课堂“态度决定一切 强势来袭，王者归来！ 例例 3 3：设f x( )是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x 1对称。对任意xx1201 2， 都有f xxf xf x()()()1212。 （I）设f ( ) 12 ，求ff( )( )1 21 4， ； （II）证明f x( )是周期函数。 例例 4 4：设f x( )是定义在R上的偶函数，其图象关于直线xa a()0对称，证明
12、f x( )是周期函数，且2a是它的一个周期。 例例 5 5：设f x( )是定义在R上的函数，其图象关于直线xa和xb ab()对称。证明f x( )是周期函数，且2()ba是它的一个周期。 “子墨课堂“态度决定一切 强势来袭，王者归来！ 例例 6 6：设f x( )是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x 1对称。证明f x( )是 周期函数，且 4 是它的一个周期。 例例 7 7：设f x( )是定义在R上的函数，其图象关于点M a()，0中心对称，且其图象关于直线xb ba()对称。证明f x( )是周期函数，且4()ba是它的一个周 期。 例例 8 8：设f x( )是定义在R上的函数
13、，其图象关于点M a()，0和N bab() ()，0对称。证明f x( )是周期函数，且2()ba是它的一个周期。 “子墨课堂“态度决定一切 强势来袭，王者归来！ 例例 9 9：设 f (x)是定义在 R 上的偶函数,其图像关于直线 x=1 对称, 对任意 x1、x20,12都有 f (x1+ x2)f(x1) f(x2), 且 f(1)=a0。 求 f (12)及 f (1 4)； 证明 f(x)是周期函数； 记 an=f(2n+1 2n), 求lim n(lnan)。 “子墨课堂“态度决定一切 强势来袭，王者归来！ 例题解析讲解例题解析讲解 例例 1 1解析：解析： （1）f(x)的周期
14、T4， f(2 011)f(3)f(1)f(1)2。 答案：-2。 （2）解析f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)。 f(x)是周期为 4 的函数。 f(9)f(241)f(1)。 f(x2)f(x)，令x1， 得f(1)f(1)f(1)，f(1)0，f(9)0。 例例 2 2解析：解析： (1)证明 f(x2)f(x)， f(x4)f(x2)f(x)。 f(x)是周期为 4 的周期函数。 (2)解x2,4，x4，2， 4x0,2， f(4x)2(4x)(4x)2x26x8， 又f(4x)f(x)f(x)， f(x)x26x8， 即f(x)x26x8，x2,4。 (3)解 f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1。 又f(x)是周期为 4 的周期函数， f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008) f(2 009)f(2 010)f(2 011)0。 f(0)f(1)f(2)f(2 011)0。 例例 3 3解析：解析： （I）解略。 （II）证明：依题设yf x( )关于直线x 1对称故f xfxxR( )()2，又由f x( )是偶函数知fxf xxR()( )，fxfxxR()()2，将上式中x以x代换，得f xf x
