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1、南京工业大学线 性 代 数试题（A）卷（闭）2008-2009 学年第 二 学期使用班级 计软 08013班级学号姓名题号一二三四五六七八总分得分（符号说明：E表示单位矩阵，R表示矩阵的秩，表示行列式，T表示矩阵的转置,trace(A)表示矩阵 A 的足迹。 ）一、填空题（每题 3 分，共 15 分）1已知2111320=zyx，则=111542653zyx。2u为 n 维非零单位列向量，则矩阵Tuu的 n 个特征值分别为。3设矩阵210 120 001A =，矩阵B满足*2ABABAE=+，其中*A为A的伴随矩阵，则|B=。4方程组121232313xxaxxaxxa= = =有解的充要条件
2、为。5已知022=EAA，则1()AE=。二、选择题（每题 3 分，共 15 分）1设CBA、是三个同阶方阵、E为同阶单位矩阵，且EABC=。下列等式：EACB=;EBAC=;EBCA=;ECAB=;ECBA=。其中正确的个数有()（A） 2 个(B)1 个(C )3 个(D) 4 个2 设n,21线性无关，211+=，111322,+=+=+=nnnnn，则关于向量组n,21的论述正确的是（）（A）一定线性无关 （B）一定线性相关 (C)相关与否与 n 有关（D）以上均不正确3.设三阶方矩A的三个特征值分别为 1,2,4, 又矩阵23BAAE=+,则如下正确的是()(A)矩阵不可逆(B) 矩
3、阵三个特征值为 -1,3,17(C)矩阵B不可以对角化(D)( )18trace B=4. 设nm阶矩阵( )R Ar=，则如下结论正确的是（）.（A）()()TTR A AR A(B)()()TTR A AR A=(C)()( )TR A AR A(D)()( )TR A AR A5. 如21321,都 是 四 维 列 向 量 ， 且 4 阶 行 列 式m=1321，n=3221，则 4 阶行列式)(21123+等于()（A）nm+（B）nm（C）)(nm+（D）mn三、(10分)计算n阶行列式mxxxxmxxxxmxnnn212121四、 （12 分） 设四阶矩阵=760005400032
4、0001A， 方阵B满足矩阵方程BEAAB=+，试给出1)(+EB。五、 （12 分）求向量组1234(1,1,0,1),(2,0,1,3),(0,2, 1, 1),(0,1, 1, 1),= = 5(6,1,3,9)=的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。六、 （13分）当,a b为何值时，线性非齐次方程组123412342341234023441(3)2321xxxxxxxxxaxxbxxxax+= +=+= += 无解、有唯一解、或有无穷多组解？在有无穷多解时，求出其通解.七、 （16分）已知二次型222 12312312( ,)22f x x
5、xxxxx x=+，试回答下列问题1） 写出此二次型的矩阵A；2） 利用正交变换QYX=该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；3） 判断该二次型是何种二次型。八、（7分）设矩阵,A B均为实正交矩阵且1,A= 1B=，试证明：0AB+=.南京工业大学线 性 代 数试题（A）卷试 题 标 准 答 案2008-2009 学年第一学期使用班级计软 0801-3一、填空题(每题 3 分，共 15 分)(1)2 （2）1，0（n-1 重） (3)-1/9 (4)1230aaa+=（5）1 2A二、选择题(每题 3 分，共 15 分)1A2. C3. B4. B5. D三、 （10分）第n,
6、3 , 2 列加到第1列：22 1221 1()1nn nnxx xmxDxxxmxxm=+ 4 分=2121 0()00nn nxx mxxxxmm+ 8 分=11 12( 1)()nn nmxxxm+10 分四、 （12 分）解：由方阵B满足矩阵方程BEAAB=+，可得EEBAAB2=+即EEBEBA2)()(=+6 分EEBEA2)(=+由=7600054000320001A故=+=+4300032000210001)(21)(1EAEB12 分五（12 分） 、解：以521,为列，构成矩阵A并进行初等行变换。123451200612006 1021101102(,)0111300011
7、 1311900000TTTTTA = 6 分秩为 3； 8 分 ，极大线性无关组为134, ； 10 分21351342,62=。 12 分六、 （13 分）对方程组的增广矩阵进行初等行变换11110 23441(| )0132 3211A bab a = 213123rrrr11110 01221 0132 01231ab a 3242rrrr+11110 01221 00101 00010Bab a = + 5 分显然可见： 当1,1ab= 时方程组无解，当1a时方程组有唯一解，当1,1ab= 时方程组有无穷多组解.8 分当1,1ab= 时继续将矩阵B化为行最简形得B=11110 012
8、21 00000 00000 12rr10111 01221 00000 00000 与原方程组等价的方程组为1342341122xxxxxx= + = 令340 0x x = ，得原方程组的一个特解为1 1 0 0 = 。 11 分与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为13423422xxxxxx=+ =令3410,01x x = 得齐次方程组的一个基础解系为1211 22,.10 01 = 故原方程组有无穷多组解时的通解为1 122Xkk=+，12,k k为任意常数.13 分七、 （16 分）解：1）此二次型的矩阵110110002A =4 分2）矩阵的特征多项式为2110( ) |11
9、0(2) 002AfAE = 故矩阵 A 的三个特征值为 0，2（二重）当2=时 ， 求 解 方 程 组()0,AE X=得 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量121(1,1,0) ,(0,0,1)2TT=.当0=时，求解方程组()0,AE X=得特征向量31( 1,1,0)2T=.令123(,)Q =, 作 变 换XQY=即 为 正 交 变 换 ， 可 将 二 次 型 化 为 标 准 型222 123220yyy+9 分3）由于矩阵 A 的特征值全部非负，故二次型为半正定的.3 分八、 （7 分）证明：因为 A、B 为正交矩阵，故()()()TTTTABA EA BA BABABABA AB B+=+=+=+=+4 分又1,A= 1B=，代入上式可得ABAB+= +，所以0.AB+=7 分
