《[理学]复变函数2-3new》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[理学]复变函数2-3new（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节调和函数一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考2一、调和函数的定义一、调和函数的定义定义定义. ),( 0, ,),( 2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxDyx 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.3二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系 1. 两者的关系两者的关系定理定理1证证,)( 内的一个解析函数内的一个解析函
2、数为为设设Divuzfw . , xv yu yv xu 那末那末. , 222222yxv yu xyv xu 从而从而D区域区域为为 D 内的调和函数内的调和函数.( )( , )( , )f zu x yiv x y 在在D内解析内解析( , ),( , )u x yv x y ?4根据解析函数高阶导数定理根据解析函数高阶导数定理, , 数数具有任意阶的连续偏导具有任意阶的连续偏导与与vu, 22yxv xyv , 0 2222 yu xu从而从而, 0 2222 yv xv同理同理. 都是调和函数都是调和函数与与因此因此vu证毕证毕反例：反例：2222222200( )uuuxxyf
3、zzxiyvvvyxy ( )f zuivxiyz,uv为调和函数，但为调和函数，但不解析不解析5定理定理2( , ),( , )u x yv x y在在D内调和内调和CR方程成立方程成立uv xyvu xy 称称u为为v的共轭调和函数的共轭调和函数( )( , )( , )f zu x yiv x y在在D内解析内解析注：注： ( , ),( , )u x yv x y在在D内调和内调和u,v具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数u,v具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数u,v可微可微 （结合结合：CR方程成立）方程成立）( )f zuiv 解析解析6三、利用该关系求解析函数三、利用该关系求解
4、析函数如果已知一个调和函数 u, 那末就可以 利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函 数 v, 从而构成一个解析函数u+vi. 这种方 法称为偏积分法偏积分法.(一）一）. 偏积分法偏积分法注：注：区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭内的解析函数的虚部为实部的共轭 调和函数调和函数. .7,uuuxy vuvu yxxy 1( , )( )vu yxvuvdydyh x yg xyx 2( )( )vu xyvhug xg xxxy ( )f zuiv（1）1、已知、已知u,求求v8(2)1()( , )( )vu xyvuvdxdxl x yyxy 2( )( )vu yxvluyyyyx
5、( )f zuiv9,vvvxy uvuv xyyx 1( , )( )uv xyuvudxdxh x yg yxy 2( )( )uv yxuhvg yg yyyx ( )f zuiv(1)2、已知、已知v,求求u10(2)1()( , )( )uv yxuvudydyl x yxyx 2( )( )uv xyulvxxxxy ( )f zuiv11(二）二）. 不定积分法不定积分法1,( )()xyz x iyuuufzuiuU zxy ( )( )( )f zfz dzU z dzC 2,( )yxz x iyvvvfzvivV zxy ( )( )( )f zfz dzv z dzC
6、12例例:设设22( , )u x yxyxy为调和函数，试求其共轭为调和函数，试求其共轭调和函数调和函数( , )v x y及解析函数及解析函数( )( , )( , )f zu x yiv x y2,uxyx 222,u x 2uyxy 222u y 22220uu xy22222()()( )( )vuvuyxvdxdxxyxyxyx dxyxyy （1）偏积分：）偏积分：13221222( )( )( )vuxyyx vxyxyyyyycy 故故22 222( , )xyv x yxyc22 222222222 1222( )( , )( , )()()()()f zu x yiv x
7、 yxyxyxyixycxixyyi xixyyic142221 2 122()()()xiyi xiyici zic2222()()()()( )(xy xyiyxxfzuiyi xiyi ziu 2,uxyx 2uyxy 21222( )( )()()f zfz dzi zdzi zc （2）不定积分）不定积分15解解例例1 .),( , 3),( 23数数和由它们构成的解析函和由它们构成的解析函其共轭调和函数其共轭调和函数并求并求为调和函数为调和函数证明证明yxvyxyyxu ,6 xyxu 因为因为,6 22 yxu ,33 22xyyu ,6 22 yyu 16, 0 2222 yu
8、 xu于是于是 . ),( 为调和函数为调和函数故故yxu,6 xyxu yv 因为因为 yxyvd6),(32xgxy ),(32xgyxv yu xv 又因为又因为,3322xy 17 xxxgd3)( 2故故,3cx ,3),(23cxyxyxv )(32xgy ,3322xy 得一个解析函数得一个解析函数).3(32323cxyxiyxyw 这个函数可以化为这个函数可以化为).()(3czizfw 答案答案课堂练习课堂练习. ,236),( 3223并求其共轭调和函数并求其共轭调和函数调和函数调和函数为为证明证明yxyyxxyxu .263),(3322cxyxyyxyxv ) ( 为
9、任意常数为任意常数c) ( 为任意常数为任意常数c18例例2 . 0)0( ,)( ,)sincos(),( fivuzfyxyxyyeyxvx使使求一解析函数求一解析函数和函数和函数为调为调已知已知解解, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyv xu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得19),()sincos(ygxyyyxeux , 得得由由yu xv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)( cyyg 故故,)s
10、incos( cyxyyyxeux 于是于是20,)1(czizez , 0)0( f由由, 0 c得得所求解析函数为所求解析函数为.)1()(zizezfz ivuzf )(ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1(214. 不定积分法不定积分法., ),( ),( 不定积分法不定积分法求解析函数的方法称为求解析函数的方法称为用不定积分用不定积分或或已知调和函数已知调和函数yxvyxu不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程:, )( )( 仍为解析函数仍为解析函数的导数的导数解析函数解析函数zfivuzf xxivuzf )( 且且yxiuu xyivv , 来表示来表示用用与与把把zivviuuxyyx ),()(zUiuuzfyx ),()(zVivvzfxy 22将上两式积分将上两式积分, 得得,d)()(czzUzf ,d)()(czzVzf , )( zfu求求适用于已知实部适用于已知实部, )( zfv 求求适用于已知虚部适用于已知虚部
