《高数第一次测试题 答案详解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数第一次测试题 答案详解（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1高等数学第一次测试题详细解答高等数学第一次测试题详细解答高等数学第一次测试题详细解答高等数学第一次测试题详细解答1、设函数 =, 1|, 0, 1|, 1)(xxxf则_)(=xff。解分段函数的复合。法（由内到外）1|)(|xf（Rx） ，)1)(Rxxff=（。法（由外到内）11|)(|, 0, 1|)(|, 1)(= =xfxfxff（Rx） 。2、函数xexxxf2sintanln)(=是（） 。（A）偶函数 （B）无界函数（C）周期函数（D）单调函数 答案 （B）解函数的定义域是20k+），（, 2 , 1 , 0=k） 。排除法显然， 函数定义域是)212,212(),2, 0(
2、+kk（, 2 , 1=k） ， 不是关于0=x对称的数集， 因此，无奇偶性可言，排除（A） 。tan00tan=，)()0(ff=，从而，)(xf不单调，排除（D） 。xln是非周期函数，)(xf不是周期函数，排除（C） 。3、设函数)(xf满足)() 1(xfxf=+（+n，即2=n。12、设,101=xnnxx+=+61（, 3 , 2 , 1=n） ，证明数列nx收敛，并求其极限。解 （1）证收敛有下界：3nx（, 3 , 2 , 1=n） 。数学归纳法（）3101=x，1=n为真；4（）若n为真，则33661=+=+nnxx，即1+n也为真。于是，3nx（, 3 , 2 , 1=n）
3、 。单调减少：nnxx+nnxx，故n时也为真。因此，nx是单调减少且有下界，从而由单调有界准则可得nx收敛。（2）求极限设axn n= lim，则由nnxx+=+61求极限及收敛数列子数列的收敛性可得aa+=6，即062=aa，解得2, 3=a（舍去2） ，故3lim= nnx。13、下列各式正确的是（） 。（A）1)11 (lim 0=+ +xxx（B）exxx=+ +)11 (lim 0（C）exxx= )11 (lim（D）exxx=+)11 (lim答案 （A）解0 型未定式。幂指函数极限。1)11ln( limexp)11ln(limexp)11 (lim 000 xx xxxxx
4、xx+ =+=+ +111limexp)1ln(limexp01=+=+= += ettttLtxt 。14、“)(xf在点0x处连续”是“|)(|xf在点0x处连续”的（） 。（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）非必要也非充 分条件 答案 （A） 解直接法。)(xf在点0x处连续,即)()(lim0 0xfxf xx= ，由复合函数连续性（或连续的-语言证明）5可得|)(|)(lim|)(|lim0 00xfxfxf xxxx= ，即|)(|xf在点0x处连续。反例： =0, 1, 0, 1)(xxxf在点0=x处间断，但)( 1|)(|Rxxf=在点0=x处连续。1
5、5、函数 )(tan)()(1 eexxeexfxx+=在,上的第一类间断点是=x（） 。（A）0（B）1（C）2（D）2答案 （A） 解 （1）确定间断点因为)(xf是初等函数，其定义域是21 , 0，x，故21 , 0=，x均为)(xf的间断点。（2）判定间断点类型注意到xe1 是单侧极限不同的函数（0x） ，故需从单侧极限入手。ee eeeeee xxxfxxxx+=+= += 1 011tanlim)(lim100（0lim10= xxe） ，011tanlim)(lim100=+= += +eeeeee xxxfxxxx（0lim10= +xxe） ，0=x是)(xf的第一类间断点，
6、且为跳跃间断点。评注显然，12x=，为无穷间断点。这是因为=+ = 1tan2tan)(1lim)(lim111 ,exxeeeexfxxxx，+=+= +=)2tan()(2tan )(lim)(lim212122eeeex eexeexfxxxx。16、设xnxnxf n211lim)(+= ，则)(xf的间断点为_=x。解 （1）讨论参量，计算极限：当0=x时，0)0(=f；当0x时，xxnxnxf n1 11lim)(2=+= （关于n的有理函数极限） ，故 =. 0, 0, 0,1 )( xxxxf6（2）由几何法可得：0=x为)(xf的间断点（无穷间断点） 。17、设函数 =0,
7、0,2arcsin1)(2tanxaexxexfxx在点0=x处连续，则_=a。解极限（连续）反问题。)(xf在点0=x处连续，由连续与左右连续关系可得axx xexff xxxx= 22tanlim2arcsin1lim)(lim)0( 0tan00等价无穷小，或axx xexff xxxx= +22tanlim2arcsin1lim)(lim)0( 0tan00等价无穷小，即2=a。18、设函数)(xf在),+（内有定义，且axf x= )(lim， = , 0, 0, 0),1()( xxxfxg则（） 。（A）0=x必是)(xg的第一类间断点 （B）0=x必是)(xg的第二类间断点（C
8、）0=x必是)(xg的连续点（D）)(xg在0=x处的连续性与a的取值有关答案 （D）解atfxfxg txtxx= =)(lim)1(lim)(lim100，0)0(=g，当0=a时，)0()(lim 0gxg x= ，即0=x是)(xg的连续点；当0a时，0=x是)(xg的第一类间断点（可去间断点） 。可见，)(xg在0=x处的连续性与a的取值有关。19、求极限)|sin12(lim410xxeexxx+ +。解观察：单侧极限不同的函数xe1 ，|x，需从左右极限入手。110102)sin12(lim)|sin12(lim410410=+= +=+ +xxee xxeexxxxxx，711
9、0)sin12(lim)|sin12(lim410410=+=+ +=+ +xxee xxeexxxxxx，由极限与左右极限关系可得：原式1= 。评注012lim 12lim44101=+= +=+tteetetxxxx 。20、 已知0)(6sinlim30=+xxxfxx，求极限20)(6limxxfx+。分析观察所求与已知的差异、联系； 解法 1（泰勒公式）)(! 3)6(66sin33 xoxxx+=，333030)()(366lim)(6sinlim0xxxfxoxx xxxfxxx+=+= 20)(6lim36xxfx+= ，即20)(6limxxfx+36=。法 2（极限四则运算
10、法则）2333)(666sin)(666sin)(6sin xxf xxx xxxfxxx xxxfx+=+=+，而0)(6sinlim30=+xxxfxx，3666sinlim30=xxxx（洛必达法则：3666sin36lim366cos6lim66sinlim 02030=xx xx xxxxLxLx；等价无穷小：! 3)6(66sin3xxx）由极限四则运算法则可得：20)(6limxxfx+36=。法 3 利用函数极限的第三个定理0)(6sinlim30=+xxxfxx，由极限存在与无穷小的关系可得：)(0)(6sin3xxxxfx+=+，其中0)(lim 0= x x。解出，xxxxxf6sin)()(3=，33266sin)()(6 xxxxx xxf+=+，故3666sinlim)(lim)(6lim30020=+xxxxxxfxxx。 （见法 2）
