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1、1從從生活化生活化到到數學化數學化數學教育的設想數學教育的設想香港中文大學小學生在中英數三科學習動機與模式發展與研究計劃數學組1目錄目錄 : :前言前言 一個數學課的實例一個數學課的實例 快而準快而準 參考書目參考書目前言前言近年提出數學教學生活化的呼聲不絕於耳目標為本課程便已提出課業 及現實情景的教學。但將生活情景加進(甚至有人用稀釋這個字眼)數學是否 為學習加入了人為障礙有論者已陸續提出(黃家 鳴199719982001Wong1997)。中文大學課程與教學學系於1999年2月19日便 曾舉辦一個數學教育之生活化與數學化研討會研究其中的矛盾與整合。其實這個生活化 數學化甚至數學內容及技巧訓
2、練 學習過程的 (表面)矛盾由來已久。Howson與Wilson(1986)便對過程為基課程(process-based curriculum) 提出質疑。有名的Cockcroft(1982)報告書亦提出數學教育不應只提出一些 如問題解決等非數學獨有之目的。事實上這個問題早在60年代新數學的討論中已進 行過激辯。最近其中一位組員(黃毅英)與公開大學黃家樂先生檢視了60年代新數學在香港的推行情況。發現這個數學本質和數學教育本質問題至今仍未得到正視(黃毅英、 黃家樂待刊)。不少人均承認數學是具有嚴密邏輯性的知識體系。在加洲數學戰爭和近來內地數 學課程的討論似乎都給出一個印象就是數學家頗為強調數學之
3、嚴謹性與抽象性。 然而不少前線老師及數學教育工作者(包括教育心理學家和數學教育學家)都看到普及 教育所面對的是所有學童。一方面並不是所有接受數學教育的學生將來的職業均與 數學有關(更遑論要成為數學家了)另一方面普及教育所帶來的其中一個核心問題 是學習動機我們必須透過種種發生在學生身邊和日常生活中的事物去誘發學生的學 習興趣(黃毅英1995)。於是乎不少教育工作者就提出種種方法如實驗遊戲探1 計劃之首席研究員為香港中文大學課程與教學學系系主任黃顯華教授研究助理為朱嘉穎女士數學組組員包括香港中文大學課程與教學學系黃毅英教授台灣嘉義師範大學應用數學系梁淑坤教授 及香港中文大學學校與夥伴協作中心劉應泉
4、先生世界龍岡黃耀南小學的林靜儀老師梁芝蘭老 師葉雅文老師以及香港中文大學校友會聯會張宣昌學校冼秀容老師和李慧苑老師。本計劃得教育 署資助，謹此鳴謝。2討日常生活的應用題等既要提高興趣亦藉此培養學生之問題解決等能力。然而 一些數學工作者又會指出這些只是形同兒戲並非正規的數學。梁鑑添(見 莫雅慈1995: 頁224)更指出今天主流數學課程有一點是未能做到的那時沒有介 紹數學的實質 。舉一個大家熟識的例子用圓錐體容器倒水三次入同底同高的圓柱體容器這個 事實是否證明了圓柱體體積為圓錐體體積的三倍呢我們若把它作為一個話題的 引子或藉此引起學習動機恐怕未嘗不可(例如何以這麼巧等於三倍呢讓我們 細心加以察看
5、)否則就是用鬆散的論述偽裝了嚴格的證明。如何從實物和身邊事物慢慢抽象化而理出相關的數學對象(mathematical object) 又如何再用數學的方法得出結論這些問題才是我們應該深入探討的由興趣動機到 正規數學的數學化(mathematisation)之路還是要小心摸索的(Freudenthal, 1991黃 家鳴2001)而這個數學化的進程可能各人不同。個別差異的探究正是本研究小組 的其中一項任務。雖然不是人人都要做數學家或投身與數學有關的行列然而一些如 解難(問題解決)創新分析自學等能力之建立並且包括排序類比規律尋 找掌握關鍵御繁於簡等數學思維方式(黃毅英1995: 頁71)縱使不是在
6、日常 生活中得到直接的應用卻對每個未來社會的公民都會產生作用恐怕這才是大眾 數學的本意。所以學生縱使將來進入各行各業有些與數學的關係較大一些較 小這也算是一種個別差異是指向未來的手但這些內在的基本能力(所謂基本 功basics)之培養正是各行各業的基石亦應是各人學習動機之所在(黃毅 英1995Math Counts)。而學習動機又是概念小組探索的另一個重大課題。蕭文強(1978)在為甚麼要學習數學便提出數學既是源於生產實踐但亦是由具體到抽象由歸納到演繹的過程。這是他從數學發展史中得到的啟示而個體的數 學學習又與人類歷史發展歷程相類似(Siu Geary (1994); Lemaire和 Sie
7、gler(1995); McGilly和Siegler(1989); Siegler(1988); Siegler和McGilly(1989及Siegle和 Shrager(1984)。以加法而言利用實物操作數手指順數湊十等一系列的活動 不只有助概念與技巧的形成亦是一個由實物邁向抽象(也即是數學化的一個相元角23 + 34575面) 的過程(其實不要太驚訝也不能說小學生無抽象思維) 。數手指已是某程度的抽 象若學生漸漸不用數手指但在腦海中有手指的意象則更是進一步的抽象。其實一些 操作(如利用數粒)對於一些學生可能很具體對於另一些學生(因為把數粒看成一些 表示數字的符號) 已覺很抽象(個別差異)
8、但只要學生能慢慢懂得用代名詞代號 符號去思維其他的外顯表象與教學手法只是手段(至於內部表象上面已解釋既 因人而異亦無法刻意形成例如強迫戒掉數手指便有其弊端(見馬仔1996)。快而準快而準當然有些老師會指出學生雖然掌握加法的不同層次的概念它們加法不見得好了 。首先所謂好一般是指快速和準確(Lampert1990)。準確答案的獲得 其實維繫著很多複雜之因素(如小心專注解題動機等)。不過Kerkman和Siegel(1997)便 指出一般學生是擁有兩類解題策略的一是快速策略(fastest strategy)一是備用策 略(backup strategy) 。當前者(例如快速的看到兩個數能作合十)
9、不管用時學生 就會轉到備用策略。簡言之當快速策略用不著時就要靠先前形成的正確概念去找 尋從最基本的想法做起。就以分母加法為例一般人在通分母時也不會從分數的 定義去算起一切已變得自動化這便是操作的層面(procedural knowledge)。但當他碰到較複雜的數題(如+甚或)時他若對其中概念沒有真正的認識21 51 ba ab(conceptual understanding)一切就會混淆起來了。參考書目參考書目馬仔(1996)。好心壞事數學教育2期27-38。 莫雅慈(1995)。梁鑑添博士漫談香港數學教育。載蕭文強(編)香港數學教育的回顧 與前瞻 ，223-229。香港：香港大學出版社。
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