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1、渭南师范学院本本科科毕毕业业论论文文题题 目：目： 实实数数完完备备性性的的应应用用 学学 院：院： 数学与信息科学学院数学与信息科学学院 专业班级：专业班级： 数学与应用数学专业数学与应用数学专业 20092009 级级 3 3 班班 毕业年份：毕业年份： 20132013 姓姓 名：名： 孙孙 月月 学学 号：号： 090741115090741115 指导教师：指导教师： 杨杨 倩倩 利利 职职 称：称： 教教 授授 渭南师范学院教务处 制目目 录录本科毕业论文任务书.1本科毕业论文开题报告.3本科毕业论文登记表.5本科毕业论文文稿.7本科毕业论文答辩记录 （论文最后页码+1）1渭南师范
2、学院本科毕业论文（设计）任务书渭南师范学院本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目实数完备性的应用学生姓名宋体小四院系、专业、班级数信学院数学系数学与应用数学2009 级 3 班毕业年份2013学 号090741115指导教师孙月职 称教 授 一、文献查阅指引1、阅读下列文献：1华东师范大学数学系.数学分析第三版M.北京:高等教育出版社,2001:52-63.2陈纪修,於崇华,金路.数学分析第二版M.北京：高等教育出版社,2004:75-90.3费定晖,敖学圣.基米多维奇数学分析习题集题解M.济南：山东科学技术出版社，2006:62-95.4巩增泰.数学的实践与认识 J.西北师范大学数学与信
3、息科学学院,2004,6(1):7-8.2、通过学校图书馆、数信学院重点学科资料室查阅有关实数完备性的文献二、内容要求主要填写指导教师对毕业论文在撰写具体内容、论述的重点、具体方式、 方法等方面的要求，不要填写笼统的、对任何论文都适用的要求。 （宋体小四）2三、进度安排暂时不填写，5 月初论文指导委员会将发布统一的进度要求，根据要求再 填写。四、起止日期 年 月 日至 年 月 日指导教师 （签名） 系 主 任（签名） 主管院长 （签名） 年 月 日注：1. 任务书由指导教师填写、经系主任及主管院长审批后，在第七学期末之前下达给学生。32. 文献查阅指引，应是对查阅内容和查阅方法的指引，即查阅什
4、么和怎样查阅。 渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告渭南师范学院本科毕业论文（设计）开题报告论文（设计）题目实数完备性的应用学生姓名孙 月院系、专业、班级数信学院数学系数学与应用数学2009 级 3 班毕业年份2013学 号090741115指导教师杨倩利职 称教 授一、拟开展研究的价值、意义宋体小四（在老师指导下填写）二、研究步骤、方法及措施宋体小四（在老师指导下填写）4三、论文拟定提纲宋体小四（在老师指导下填写）5四、主要参考文献1华东师范大学数学系.数学分析第三版M.北京:高等教育出版社,2001:52-63.2陈纪修,於崇华,金路.数学分析第二版M.北京：高等教育出版社,2004:
5、75-90.3费定晖,敖学圣.基米多维奇数学分析习题集题解M.济南：山东科学技术出版社，2006:62-95.4巩增泰.数学的实践与认识 J.西北师范大学数学与信息科学学院,2004,6(1):7-8.5李万军.确界定理新证J.宜宾学院学报,2003,3(5):2-4.6刘永健,唐国吉.实属完备性的循环证明及其教学注记J.时代教育,2009(2):5-12.7裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，1993:5-12.8陈传璋.数学分析第二版M.北京：高等教育出版社，2007:125-134.9曾捷.数学分析中的方法和若干问题 上册 湖南科技出版社,2006:23-54 1
6、0何联毅。数学分析习题课讲义 上册 高等教育出版社，2001：65-87指导教师意见： 指导教师签字： 年 月 日主管院长意见： 主管院长签字： 年 月 日注：开题报告是在 导师的指导下，由学生填写 。 渭南师范学院本科毕业论文（设计）登记表渭南师范学院本科毕业论文（设计）登记表论文（设计）题目实数完备性的应用学生姓名孙 月院系、专业、班级数信学院数学系数学与应用数学2009 级 3 班毕业年份2013学 号090741115指导教师杨倩利职 称教 授6一、论文摘要（中文）实数集的完备性是我们研究实数集的一个基本特征,它在微积分学中起着重要的理论基础作用.我们在学习的过程中可以从不同的方面来刻
7、画实数集的完备性,因此就得出了多个实数集的完备性基本定理,主要包括六个实数集完备性基本定理.通过对这六个基本定理的应用,来对实数集完备性基本定理进行更加深刻的理解.二、论文摘要（英文）Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theo
8、rems about it. It contains six basictheorems . That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principle theorems is systematic discussion about it, and makesus acquire more recognition and understanding.三、成绩评定指导教师评语：指导教师签字： 年 月 日7评阅人评语：评阅人签字： 年 月 日答辩小组评语：成
9、绩 (分数)手写成绩答辩小组组长签字： 年 月 日答辩委员会审核意见：答辩委员会主席签字： 年 月 日8实数的完备性及其应用实数的完备性及其应用孙月（渭南师范学院 数学与信息科学学院 09 数本三班）摘摘 要要：实数集的完备性是我们研究实数集的一个基本特征,它在微积分学中起着重要的理论基础作用.我们在学习的过程中可以从不同的方面来刻画实数集的完备性,因此就得出了多个实数集的完备性基本定理,主要包括六个实数集完备性基本定理.通过对这六个基本定理的应用,来对实数集完备性基本定理进行更加深刻的理解.关键词关键词：完备性；反证法；连续性.引言引言众所周知,数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主
10、要包括连续性,可微性以及可积性）,所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限,不仅与数列本身的结构有关,而且也与数列所在数集有关.如果在有理数集 Q 上讨论极限,那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如,单调有界的有理数列就不存在极限,因为它的极限是 e,是无理数.由11nn于实数集关于极限的运算是封闭的,是实数集的优点,是有别于有理数集的重要特征.因此,将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础.它在整个数学分析中占据着重要的位置.1.1.实数集的完备性实数集的完备性定理定理 1 （确界原理）非空有上（下）界的
11、数集必有上（下）确界.定理定理 2 2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛定理定理 3 3 (区间套定理） 设为一区间套：,nna b1. 11,1,2,nnnna babnL2.0limnn nba则存在唯一一点.,1,2,nna bnL9定理定理 4 4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆盖,H , a b即中每一点都含于中至少一个开区间内则在 H 中必存在有限个开, a b, 区间,它们构成的一个有限开覆盖, a b定理定理 5 5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在S的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）SSS定理定理6
12、(柯西准则) 数列收敛的充要条件是：,只要 n0, NN , 恒有 （后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的, n mNmn数列又称为柯西列,或基本数列）2.2. 实数完备性的应用实数完备性的应用实数的完备性定理在闭区间上连续函数性质的证明以及数列收敛有着广泛的应用我们将通过一系列典型的例题来描述实数完备性定理的应用并且认识实数完备性定理在数学学习中的重要作用和地位.2.12.1 实数完备性在连续函数性质方面的应用实数完备性在连续函数性质方面的应用例 1.设为上的增函数，其值域为。证明在上连续。f,ba)(),(bfaff,ba证明：反证法。假设在上某点不连续，则存在，对任意的，存
13、在f,ba0x000，使得。);(0xUx00)()(xfxf又为上的增函数，则有。f,ba)()()(0bfxfaf是一个闭区间，由实数的稠密性，对上述，存在，当)(),(bfaf0时，有成立。00xxx00)()(xfxf由假设推出的结论与此矛盾，因此假设错误，原命题结论成立。即在f上连续。,ba例 2. 证明 若函数在闭区间上连续,则它在上有界.( )f x, a b, a b10证明：用反证法. 若在无界,将等分为两个小区间,则( )f x, a b, a b,22ababab 与至少在其中一个区间上无界,把它记为；( )f x11,a b再把等分为两个小区间,同样至少在一个区间上无界,记为.11,a b( )f x22,a b如此进行下去,得到一个闭区间套,且在任何一个区间上都是无nn,a b( )f x界的.根据闭区间套定理,存在唯一的实数属于所有的闭区间,并且nn,a blimlimnnnnab 因为,而在点连续,则对于一切, a
