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1、2004 年全国高中数学联赛 冯惠愚- -12004 年全国高中数学联赛试卷第一试一选择题(本题满分 36 分，每小题 6 分) 1设锐角使关于 x 的方程 x2+4xcos+cos=0 有重根，则的弧度数为 ( )A B或 C 或 D612512651212 2已知 M=(x，y)|x2+2y2=3，N=(x，y)|y=mx+b若对于所有的 mR，均有 MN，则 b 的取 值范围是 ( )A， B(，) C(， D， 3不等式+ logx3+20 的解集为log2x11 2A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 4设点 O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC
2、的面积的比为( )OAOBOC0A2 B C3 D 3 25 35设三位数 n=，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数 nabc有( )A45 个 B81 个 C165 个 D216 个 6顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底 面圆内的点，O 为底面圆圆心，ABOB，垂足为 B，OHPB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的中点，则当三棱锥 OHPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A B C D二填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分) 7在平面直角坐标系 xOy 中，函数 f(x)=asinax+co
3、sax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函 数 g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；a2 + 18设函数 f：RR，满足 f(0)=1，且对任意 x，yR，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= ； 9如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 ABD1A1的度数是 ； 10设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得也是一个正整数，则 k= k2pk； 11已知数列 a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；n i= 01 ai12在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M(1，2)和 N(1，
4、4)，点 P 在 x 轴上移动，当MPN 取最 大值时，点 P 的横坐标为 ；ABPOHCB1A1BCDAC1D12004 年全国高中数学联赛 冯惠愚- -2三解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分) 13一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所出现的点数的和 大于 2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概率是多少？14在平面直角坐标系 xOy 中，给定三点 A(0， )，B(1，0)，C(1，0)，点 P 到直线 BC 的距离是该4 3点到直线 AB、AC 距离的等比中项 求点 P 的轨迹方程； 若直线 L 经过AB
5、C 的内心(设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范 围15已知，是方程 4x24tx1=0(tR)的两个不等实根，函数 f(x)=的定义域为，2xt x2 + 1 求 g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于 ui(0， )(i=1，2，3)，若 sinu1+sinu2+sinu3=1，则+an+14，nN*； 证明有 n0N*，使得对nn0，都有+0 的解集为log2x11 212A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 解：令 log2x=t1 时， t2t1，2)，x2，4)，选 Ct13 24设点 O 在ABC 的内部，且有+2
6、+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )OAOBOC0A2 B C3 D 3 25 3解：如图，设AOC=S，则 OC1D=3S，OB1D=OB1C1=3S，AOB=OBD=1.5SOBC=0.5S，ABC=3S 选 C5设三位数 n=，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角abc形，则这样的三位数 n 有( )A45 个 B81 个 C165 个 D216 个 解：等边三角形共 9 个； 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为 a，b)，有 36 种取法，以小数为底时总能构成等腰三 角形，而以大数为底时，b0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函 数 g(x
7、)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；a2 + 1解：f(x)= sin(ax+)，周期=，取长为，宽为 2的矩形，由对称性知，面积之半即a2 + 12a2aa2 + 1为所求故填2aa2 + 1又解：1sin(ax+)dx=(1sint)dt=1 0 a2 + 12pa a2 + 18设函数 f：RR，满足 f(0)=1，且对任意 x，yR，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则 f(x)= ； 解：令 x=y=0，得，f(1)=110+2，f(1)=2 令 y=1，得 f(x+1)=2f(x)2x+2，即 f(x+1)=2f(x)x 又，f(yx+1)=f(y)f(x)
8、f(x)y+2，令 y=1 代入，得 f(x+1)=2f(x)f(x)1+2，即 f(x+1)=f(x)+1 比较、得，f(x)=x+1 9如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，二面角 ABD1A1的度数是 ； 解：设 AB=1，作 A1MBD1，ANBD1，则BNBD1=AB2，BN=D1M=NM=A1M=AN= AA12=A1M2+MN2+NA22A1MNAcos，12= + + 2 cos，cos= 2 32 31 32 312ABPOHCMNB1A1BCDAC1D12004 年全国高中数学联赛 冯惠愚- -5=60 10设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得也是一个正整数，则 k
9、= ；k2pk解：设=n，则(k )2n2=，(2kp+2n)(2kp2n)=p2，k= (p+1)2k2pkp2p2 41411已知数列 a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且 a0=3，则的值是 n i= 01 ai；解：=+ ，令 bn=+ ，得 b0= ，bn=2bn1，bn= 2n即1an+ 12 an131an132 32 3=，= (2n+2n3)1an2n+ 113n i= 01 ai1312在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M(1，2)和 N(1，4)，点 P 在 x 轴上移动，当MPN 取最 大值时，点 P 的横坐标为 ； 解：当MPN
10、 最大时，MNP 与 x 轴相切于点 P(否则MNP 与 x 轴交于 PQ，则线段 PQ 上的点 P使MPN 更大)于是，延长 NM 交 x 轴于 K(3，0)，有 KMKN=KP2，KP=4P(1，0)， (7，0)，但(1，0)处MNP 的半径小，从而点 P 的横坐标=1 三解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分) 13一项“过关游戏”规则规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次， 如果这 n 次抛掷所出现的点数的和大于 2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概率是多少？ 解： 设他能过 n 关，则第 n 关掷 n 次，至多得 6n 点， 由 6n2n，知
11、，n4即最多能过 4 关 要求他第一关时掷 1 次的点数2，第二关时掷 2 次的点数和4，第三关时掷 3 次的点数和8第一关过关的概率= = ；4 62 3第二关过关的基本事件有 62种，不能过关的基本事件有为不等式 x+y4 的正整数解的个数，有 C个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计 6 种，过关的概率=1= ；2 46 625 6第三关的基本事件有 63种，不能过关的基本事件为方程 x+y+z8 的正整数解的总数，可连写 8 个1，从 8 个空档中选 3 个空档的方法为 C =56 种，不能过关的概率=，能过关的概率=；3 887632156 637 2
12、720 27连过三关的概率= =2 35620 27100 24314在平面直角坐标系 xOy 中，给定三点 A(0， )，B(1，0)，C(1，0)，点 P 到直线 BC 的距离是该4 3点到直线 AB、AC 距离的等比中项 求点 P 的轨迹方程； 若直线 L 经过ABC 的内心(设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取值范围 解： 设点 P 的坐标为(x，y)，AB 方程：+=1，4x3y+4=0， x 13y 4MNPKOxyD-111BCAyxOKP2004 年全国高中数学联赛 冯惠愚- -6BC 方程：y=0， AC 方程：4x+3y4=0， 25|y|2=|(4x3y+4)(4x+3y4)|， 25y2+16x2(3y4)2=0，16x2+16y2+24y16=0， 2x2+2y2+3y2=0
