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1、 20122012 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题数学三试题选择题：选择题：1818 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. .（1 1）曲线）曲线渐近线的条数为（渐近线的条数为（）221xxyx（A A）0 0（B B）1 1（C C）2 2（D D）3 3（2 2）设函数）设函数，其中，其中 n n 为正整数，则为正整数，则2( )(1)(2)xx
2、nxf xeeen与-与= =（）(0)f（A A）（B B）1( 1)(1)!nn( 1) (1)!nn（C C）（D D）1( 1)!nn( 1)!nn（3 3）设函数）设函数连续，则二次积分连续，则二次积分= =（）( )f t222 02cos()df r rdr（A A）2224222202()xx xdxxy f xy dy（B B）22242202()xx xdxf xy dy（C C）2222220214() 2xdxxy f xydy xx （D D）22220214() 2xdxf xydy xx （4 4）已知级数）已知级数绝对收敛，绝对收敛，条件收敛，则条件收敛，则范围
3、范围11( 1)sinninn2 1( 1)nin 为（为（ ）（A A）00a（）求的方程；L（）当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值。Lyax8 3a（19） （本题满分（本题满分 10 分）分）求幂级数的收敛域及和函数。 12111 21nnnx nn ( )s x（20） （本题满分（本题满分 13 分）分）设 4 维向量组TTT 12341,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaa问为何值时线性相关？当线性相关时，求其T4,4,4,4aa1234, 1234, 一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。（21） （本题满分（本题满分 13 分）分）设
4、 3 阶实对称矩阵的各行元素之和均为 3，向量A是线性方程组的两个解。TT 121,2, 1,0, 1,1 0Ax （）求的特征值与特征向量；A（）求正交矩阵和对角矩阵,使得；QTQ AQ （）求及，其中为 3 阶单位矩阵。A63 2AEE（22） （本题满分（本题满分 13 分）分）设随机变量的概率密度为X， 1, 102 1,024 0,Xxfxx 其他令为二维随机变量的分布函数。2,YXF x y(, )X Y（）求的概率密度；Y Yfy（）；Cov(, )X Y（）。1,42F（23） （本题满分（本题满分 13 分）分）设总体的概率密度为X,01,;1,12,0,xf xx 其他,其
5、中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样0112n,.,XXXXN本值中小于 1 的个数。12,.,nx xx（）求的矩估计；（）求的最大似然估计。20052005 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题数学三试题一、填空题：本题共一、填空题：本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 2424 分分. . 请将答案写在答题纸指定位置请将答案写在答题纸指定位置上上.(1)(1) 极限_.22lim sin1xxxx(2)(2) 微分方程满足初始条件的特解为_.0xyy 12y(3)(3) 设二元函数，则_. 1 ln 1x yzxexy
6、1,0dz(4)(4) 设行向量组线性相关，且，则 2,1,1,1 , 2,1, , 3,2,1, 4,3,2,1a aa1a _.a (5)(5) 从数中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则1,2,3,4X1, XLY_.2P Y (6)(6) 设二维随机变量的概率分布为,X YXY0100.4a1b0.1若随机事件与相互独立，则_，_.0X 1XYa b 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分. 在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上只有一项符合题
7、目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7)(7) 当取下列哪个值时，函数恰有两个不同的零点.a 322912f xxxxa（A）2 （B）4 （C）6 （D）8(8)(8) 设，2222222 123cos,cos,cosDDDIxy dIxydIxyd其中，则22,1Dx y xy（A） （B） （C） （D）321III123III213III312III(9)(9) 设若发散，收敛，则下列结论正确的是0,1,2,nanL1n na 111n n na（A）收敛，发散 （B）收敛，发散21 1n na 2 1n na2 1n na21 1n na （C）收敛 （D）收敛212
8、1nn naa 212 1nn naa (10)(10) 设，下列命题中正确的是 sincosf xxxx（A）是极大值，是极小值 0f2f（B）是极小值，是极大值 0f2f（C）是极大值，也是极大值 0f2f（D）是极小值，也是极小值 0f2f(11)(11) 以下四个命题中，正确的是（A）若在内连续，则在内有界 fx0,1 f x0,1（B）若在内连续，则在内有界 f x0,1 f x0,1（C）若在内有界，则在内有界 fx0,1 f x0,1（D）若在内有界，则在内有界 f x0,1 fx0,1(12)(12) 设矩阵满足，其中为的伴随矩阵，为的转置矩 3 3ijAa*TAA*AATAA
9、阵. 若为三个相等的正数，则为111213,aaa11a（A） （B）3 （C） （D）3 31 33(13)(13) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则12, A12, 线性无关的充分必要条件是112, A（A） （B） （C） （D）10201020(14)(14)（注：该题已经不在数三考纲范围内）（注：该题已经不在数三考纲范围内）三、解答题：本题共三、解答题：本题共 9 小题，满分小题，满分 94 分分. 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分（本
10、题满分 8 分）分）求. 011lim1xxx ex（16） （本题满分（本题满分 8 分）分）设具有二阶连续导数，且，求. f u,yxg x yfyfxy22 22 22ggxyxy（17） （本题满分（本题满分 9 分）分）计算二重积分，其中.221Dxyd,01,01Dx yxy（18） （本题满分（本题满分 9 分）分）求幂级数在区间内的和函数.211121nnxn1,1 S x（19） （本题满分（本题满分 8 分）分）设在上的导数连续，且.证明：对任 ,f xg x0,1 00,0,0ffxgx何，有0,1 1001ag x fx dxf x gx dxf a g（20） （本题
11、满分（本题满分 13 分）分）已知齐次线性方程组（） 和 （）123123123230,2350,0,xxxxxxxxax 1232 1230,210,xbxcxxb xcx同解，求的值., ,a b c（21） （本题满分（本题满分 13 分）分）设为正定矩阵，其中分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，为阶TACDCB,A BCm n矩阵.（）计算，其中；TP DP1 mnEA CPOE（）利用（）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.1TBC A C（22） （本题满分（本题满分 13 分）分）设二维随机变量的概率密度为,X Y0,01,02 ,1,xyxf x y 其它.求：（）的边缘
12、概率密度；,X Y ,XYfxfy（）的概率密度；2ZXY Zfz（）.11 22P YX（23） （本题满分（本题满分 13 分）分）设为来自总体的简单随机样本，其样本均值为，12,2nXXXn L20,NX记.,1,2,iiYXX inL（）求的方差；iY,1,2,iDY inL（）求与的协方差；1YnY1,nCov Y Y（）若是的无偏估计量，求常数.2 1nc YY2c20042004 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题数学三试题一、填空题：本题共一、填空题：本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 2424 分分. . 请将答
13、案写在答题纸指定位置请将答案写在答题纸指定位置上上.(1)(1) 若，则_，_. 0sinlimcos5xxxxbeaa b (2)(2) 函数由关系式确定，其中函数可微，且,f u v ,fxg yyxg y g y，则_. 0g y 2f u v (3)(3) 设 则_. 211,22 11,2xxex f x x 21 21f xdx(4)(4) 二次型的秩为_. 222 123122331,f x x xxxxxxx(5)(5) 设随机变量服从参数为的指数分布，则_.XP XDX(6)(6) 设总体服从正态分布，总体服从正态分布，X2 1,N Y2 2,N 和分别是来自总体和的简单随机样本，则 112,nXXXL 212,nY YYLXY_.122211122nnij ijXXYY Enn
