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1、第六章 实 数 一、知识总结 （一）平方根与立方根 1、平方根 （1）定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次 方根。 （2）表示：非负数 a 的平方根记作a ，读作“正负根号 a” ， （a 叫做被开方数） （3）性 质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0 的平方根为 0；负数的没有平方根。 （4） 开平方：求平方根的运算叫做开平方。 、平方根是开平方的结果；、 开平方与平方互为逆运算。 2、算术平方根 （1）定义：正数 a 的正的平方根 a 叫做 a 的算术平方根，0 的算术平方根是 0。 （2）性质： （1）一个数 a 的算术平方根具有非负性；
2、即：a0 恒成立。 （2）正数的算术平 方根只有 1 个，且为正数；0 的算术平方根是 0； 负数的没有算术平方根。3、立方根： （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次 方根。 （2）表示：a 的立方根记作 3a，读作“三次根号 a” （a 叫做被开方数，3 叫根指数）（3）性质：正数的立方根是 1 个正数；负数的立方根是 1 个负数；0 的立方根是 0。 （二）实数 1、无理数：无限不循环的小数。 （一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）2、实数：有理数和无理数统称为实数。 3、实数分类：（1）按定义分（略） （2）按 正负性分（略）
3、 4、实数与数轴上的点一一对应。 5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似） 6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以 进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对 于实数仍然适用。 - 3 - 7、实数大小：（1）正数 0 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值 小的反而大。 （3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法 二、解题实用 1、1.414212 1.7323 2.2365 2、aa
4、2 a2 a aa 3 3 3 3a 3、abba b ab ab a 0b 三、典题练习 1、16 的平方根是 ；2 3-的算术平方根是 ；2 3-的立方根是 。 2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个 有理数 的平方根与立方根相同，那么这个数是 。 3、一个自然数的算术平方根是 x，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是 。 4、下列各数中一定为正数的是 （填序号） x 1x 2 x 1x3 1x 5、当 x-1 时，2 x，-x,3 x-和 x 1 的大小关系 。 6、比较下列各组数的大小 2-23-21 与 75412 与 112533 与 7 1 -21
5、-4 与 7、2-7 的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 。 8、已知 3x，y 为 4 的平方根， 0xy，求 x+y 的值。 9、已知 02-3xy，求 x 2 +y 的平方根。 10、如果一个非负数的平方根为 2a-1 和 a-5，则这个数是 。 11、a 为 5 的整数部分，b 为 5 的小数部分，则 a+2b 的值为 。 12、若 aa2012-a-2011，试求 2 2011-a 的值。 （提示：找出题中的隐含条件） 第七章 一元一次不等式与不等式组 一、知识总结 （一）不等式及其性质 1、不等式： （1）定义用“”(或“”)， “”(或“”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不 等式
6、.用“”表示不等关系的式子也是不等式. （2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解 集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解 的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。 二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集。 （4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。 2、不等式的基本性质 性质 1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 即：如果 ba，那么 cbca. 性质 2：不等式的两边
7、都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 即：如果 ba，并且 0c，那么 bcac； cbca. 性质 3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 即：如果 ba，并且 0c，那么 bcac； c bc a. 性质 4：如果 ba，那么 ab.（对称性） 性质 5：如果 ba,cb,那么 ca.（传递性） （二）一元一次不等式 1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2.一元一次不等式的解法： 根据是不等式的基本性质；一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)系数化为 1.
8、 - 5 - 解不等式应注意：去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； 移项时不要忘记变号；去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；在 不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。3.不等式的解集在数轴上表示： （1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左 （三）一元一次不等式组 1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不 等式组 2、 （一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次） 不等式组的解集。 3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
9、4、一元一次不等式组的 解法 1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 由两个一元一 次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况： - 5 - 解不等式应注意：去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； 移项时不要忘记变号；去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；在 不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。 3.不等式的解集在数轴上表示： （1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左 （三）一元一次不等式组 1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次
10、不等式组成的不等式组，叫做一元一次不 等式组 2、 （一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次） 不等式组的解集。 3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 4、一元一次不等式组的 解法 1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 由两个一元一 次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况： 不等式组ba 解集 口诀记忆 ab xx bx 同大取大 axbx ax 同小取小 ab xx bxa 大小小大中间找 ab xx 无解 大大小小则无解 （四）一元一次不等式（组）解决实际问题
11、 解题的步骤： 审题，找出不等关系 设未知数 列出不等式（组） 求出不等式的解集 找出符合题意的值 作答。 二、解题技巧 一、有解无解问题： （1）ab xx bb aa 有解：无解：（2）axxb bba a 有解：无解： （3） ab xx bb a a 有解：无解： 2、特征解问题： 解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为 m) 当作已知数，去解原式得 到原式的解（含 m)根据解的特征列出式子（关于 m 的式子)解出 m 的值。例：已知 12axx 的解集为 1x，求 a 的值。 解：解不等式 12axx 把 a 当作已知数，去解原式 得 1xa 得到原式 的解（含 a) 则 11-a 根据解的特征列出式子 解得 2a 解出 a 的值 三、典题练习 1、若关于 x 的不等式 1 x12mmx 有解，则 m 的取值范围是？若无解呢？ 2、已知关于 x，y 的方程组 myyx1x22 2 的解满足 0xy，求 m 的取值范围。 3、适当选择 a 的取值范围，使 1.7xa 的整数解： （1）x 只有一个整数解； （2）x 一个整数解也没有。 4、解不等式（组） （1） 32 2,352xxxx （2） .3273,4536,7342xxxxxx （3） .1)3(221,31 2233xxxxx （4）562x3 （5）.17 ) 10(23 83 yyy
